1. Use diagonalização para determinar a solução do sistema de equações diferenciais dado.
    (a) \left\{\begin{array}{ccc}x^{\prime} & = & x-y \\\ y^{\prime} & = & -x+y \\\ x_{0}=3 & e & y_{0}=1\end{array} \quad(\mathrm{~b})\left\{\begin{array}{ccc}x^{\prime} & = & 5 x-8 y \\\ y^{\prime} & = & -2 x+5 y \\\ x_{0}=1 & e & y_{0}=1\end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por diagonalização, dois sistemas lineares de EDO’s de primeira ordem com condições iniciais. O conteúdo utilizado é a teoria de sistemas x'=Ax, onde resolvemos encontrando autovalores e autovetores de A, diagonalizando-a, passando para as coordenadas próprias, integrando e voltando às coordenadas originais.

Passo 2

Para o item (a), a matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^2-1=\lambda(\lambda-2)=0,
de modo que \lambda_1=0 e \lambda_2=2.
  • Para \lambda_1=0: resolvendo (A-0I)v=0 v_1=(1,1).
  • Para \lambda_2=2: resolvendo (A-2I)v=0 v_2=(1,-1).
    Logo a solução geral em coordenadas canônicas é
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} =C_1e^{0\cdot t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} +C_2e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}C_1+C_2e^{2t}\C_1-C_2e^{2t}\end{pmatrix}.

Passo 3

Impondo x(0)=3 e y(0)=1 em
x(0)=C_1+C_2=3, \quad y(0)=C_1-C_2=1,
somando dá 2C_1=4\Rightarrow C_1=2, e C_2=3-2=1.
Portanto,
x(t)=2+e^{2t},\quad y(t)=2-e^{2t}.

Passo 4

Para o item (b), a matriz é
A=\begin{pmatrix}5 & -8\\\ -2 & 5\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)^2-16=\lambda^2-10\lambda+9=0,
com raizes \lambda_1=1 e \lambda_2=9.
  • Para \lambda_1=1: (A-I)v=0 v_1=(2,1).
  • Para \lambda_2=9: (A-9I)v=0 v_2=(-2,1).
    A solução geral é
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} =D_1e^{t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} +D_2e^{9t}\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2D_1e^{t}-2D_2e^{9t}\D_1e^{t}+D_2e^{9t}\end{pmatrix}.

Passo 5

Impondo x(0)=1 e y(0)=1 em
x(0)=2D_1-2D_2=1, \quad y(0)=D_1+D_2=1,
da segunda D_1=1-D_2. Substituindo na primeira:
2(1-D_2)-2D_2=1\;\Longrightarrow\;2-4D_2=1\;\Longrightarrow\;D_2=\tfrac{3}{4},\; D_1=\tfrac{1}{4}.
Logo
x(t)=-\tfrac12e^{9t}+\tfrac32e^{t}, \quad y(t)=\tfrac14e^{9t}+\tfrac34e^{t}.

Resposta

(a) x(t)=2+e^{2t},\quad y(t)=2-e^{2t}.
(b) x(t)=-\tfrac12e^{9t}+\tfrac32e^{t},\quad y(t)=\tfrac14e^{9t}+\tfrac34e^{t}.

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