Determine, justificando suas respostas, se as seguintes sequências são convergentes:
u_{n}=\frac{\cos n-2}{n^{4}}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle u_{n}=\frac{\cos n-2}{n^{4}} para todo n\in\mathbb{N}^{*} e pede para determinar, com justificativa, se essa sequência é convergente.
Informações fornecidas:
  • A expressão geral da sequência é \displaystyle u_{n}=\frac{\cos n-2}{n^{4}}.
  • O índice n é natural positivo ( n\in\mathbb{N}^{*}).
    A pergunta a responder é: a sequência \displaystyle (u_n) converge quando n\to\infty? Se sim, qual é o limite?

Passo 2

Lembrar uma propriedade básica do cosseno: para todo número real x vale -1\le \cos x\le 1. Aplicando isso ao caso x=n (que é só um número real), obtemos
-1 \le \cos n \le 1.
Subtraindo 2 em todas as partes da desigualdade (operações term a termo preservam desigualdade), temos
-3 \le \cos n - 2 \le -1.

Passo 3

Como n^{4}>0 para todo n\in\mathbb{N}^{*}, podemos dividir a desigualdade anterior por n^{4} sem alterar o sentido das desigualdades. Assim,
-\frac{3}{n^{4}} \le \frac{\cos n - 2}{n^{4}} \le -\frac{1}{n^{4}}.
Ou seja,
-\frac{3}{n^{4}} \le u_{n} \le -\frac{1}{n^{4}} \quad\text{para todo }n.

Passo 4

Agora analisamos os limites das sequências que aparecem nas bordas. Para qualquer constante c fixo vale \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{c}{n^{4}}=0 porque n^{4}\to\infty quando n\to\infty, então a sua recíproca tende a 0. Em particular,
\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{3}{n^{4}}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n^{4}}\right)=0.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche): se uma sequência v_n está entre duas outras sequências que têm o mesmo limite L, então v_n também tem limite L. Aplicando isso às desigualdades do Passo 3, com os limites do Passo 4, concluímos que
\lim_{n\to\infty} u_{n} = 0.
(Alternativa rápida: como |\cos n-2|\le 3, temos |u_n|\le 3/n^4 e como 3/n^4\to0 segue |u_n|\to0.)

Passo 6

Interpretação final e incentivo: mesmo que \cos n oscile e não tenha limite, aqui ele aparece num numerador que é limitado (entre -3 e -1) e está sendo dividido por n^{4}, que cresce muito rápido. Isso faz com que o denominador “vença” e a sequência vá para 0. Força aí nos estudos — essa técnica de usar que funções como \cos são limitadas e aplicar o confronto é muito útil em provas!

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} u_{n}=0.

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