Determine, justificando suas respostas, se as seguintes sequências são convergentes:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para todo
e pede para determinar, com justificativa, se essa sequência é convergente.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A expressão geral da sequência é
. - O índice
é natural positivo ( ).
A pergunta a responder é: a sequênciaconverge quando ? Se sim, qual é o limite?
Passo 2
Lembrar uma propriedade básica do cosseno: para todo número real
vale
. Aplicando isso ao caso
(que é só um número real), obtemos
Subtraindo
em todas as partes da desigualdade (operações term a termo preservam desigualdade), temos
Passo 3
Como
para todo
, podemos dividir a desigualdade anterior por
sem alterar o sentido das desigualdades. Assim,
Ou seja,
Passo 4
Agora analisamos os limites das sequências que aparecem nas bordas. Para qualquer constante
fixo vale
porque
quando
, então a sua recíproca tende a
. Em particular,
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche): se uma sequência
está entre duas outras sequências que têm o mesmo limite
, então
também tem limite
. Aplicando isso às desigualdades do Passo 3, com os limites do Passo 4, concluímos que
(Alternativa rápida: como
, temos
e como
segue
.)
Passo 6
Interpretação final e incentivo: mesmo que
oscile e não tenha limite, aqui ele aparece num numerador que é limitado (entre
e
) e está sendo dividido por
, que cresce muito rápido. Isso faz com que o denominador “vença” e a sequência vá para
. Força aí nos estudos — essa técnica de usar que funções como
são limitadas e aplicar o confronto é muito útil em provas!
Resposta
A sequência converge e
.