Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
c_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}.

Passo 1

O enunciado pede para:
  • Verificar se a sequência \displaystyle c_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}, para todo n\in\mathbb{N}^*, converge.
  • Caso converja, determinar o limite \displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n.
Informações dadas:
  • A sequência é definida por \displaystyle c_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}.
  • Para cada n, (-1)^n toma os valores \pm 1 e o denominador é n, que cresce para o infinito conforme n\to\infty.

Passo 2

Observação sobre o comportamento dos termos (sem resolver ainda): \displaystyle c_n alterna sinal (positivo e negativo) porque (-1)^n é \pm 1, e o tamanho (módulo) de c_n é \displaystyle \frac{1}{n}, que parece diminuir para zero quando n cresce. Essas duas ideias são úteis: o sinal oscila, mas a magnitude diminui. Agora vamos transformar essa intuição em argumento matemático rigoroso.

Passo 3

Usar uma desigualdade simples (base para o argumento): como (-1)^n\in\{-1,1\}, temos sempre
-\,\frac{1}{n}\le c_n\le\frac{1}{n}.
Isto é, \displaystyle c_n está “espremido” entre -\dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n}. Esta é a situação típica para aplicar o Teorema do Aperto (Squeeze Theorem): se as duas sequências das extremidades tendem para o mesmo limite, então a sequência no meio também tende para esse limite.

Passo 4

Calcular os limites das sequências extremas: é conhecido (e fácil de justificar) que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}-\frac{1}{n}=0.
Logo as duas sequências que apertam c_n têm o mesmo limite 0. Pelo Teorema do Aperto, concluímos que
\lim_{n\to\infty} c_n = 0.

Passo 5

Prova \varepsilon- N (forma rigorosa, útil para prova em exame): seja \varepsilon>0 qualquer. Escolha N\in\mathbb{N} tal que
N>\frac{1}{\varepsilon}.
Para todo n\ge N temos \dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{N}<\varepsilon. Então
\left|c_n-0\right|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que, por definição de limite de sequência, \displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n = 0.

Passo 6

Observações finais e dica de prova: a ideia usada é muito geral e útil em prova de concurso/exame:
  • Se (a_n) é limitada (por exemplo (-1)^n é limitada por 1 em módulo) e (b_n) tende a 0, então (a_n b_n) tende a 0. Aqui a_n=(-1)^n (limitada) e b_n=1/n (vai a 0), logo a_n b_n=c_n\to 0.
  • Intuitivamente: oscilações de sinal não impedem convergência se a amplitude vai para zero.
Força aí — a resposta é simples e elegante: a sequência converge e o limite é zero.

Resposta

Converge.
\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n = 0

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