Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite. c_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}.
Passo 1
O enunciado pede para:
Verificar se a sequência \displaystyle c_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}, para todo n\in\mathbb{N}^*, converge.
Caso converja, determinar o limite \displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n.
Informações dadas:
A sequência é definida por \displaystyle c_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}.
Para cada n, (-1)^n toma os valores \pm 1 e o denominador é n, que cresce para o infinito conforme n\to\infty.
Passo 2
Observação sobre o comportamento dos termos (sem resolver ainda): \displaystyle c_n alterna sinal (positivo e negativo) porque (-1)^n é \pm 1, e o tamanho (módulo) de c_n é \displaystyle \frac{1}{n}, que parece diminuir para zero quando n cresce. Essas duas ideias são úteis: o sinal oscila, mas a magnitude diminui. Agora vamos transformar essa intuição em argumento matemático rigoroso.
Passo 3
Usar uma desigualdade simples (base para o argumento): como (-1)^n\in\{-1,1\}, temos sempre
-\,\frac{1}{n}\le c_n\le\frac{1}{n}.
Isto é, \displaystyle c_n está “espremido” entre -\dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n}. Esta é a situação típica para aplicar o Teorema do Aperto (Squeeze Theorem): se as duas sequências das extremidades tendem para o mesmo limite, então a sequência no meio também tende para esse limite.
Passo 4
Calcular os limites das sequências extremas: é conhecido (e fácil de justificar) que
Isso mostra que, por definição de limite de sequência, \displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n = 0.
Passo 6
Observações finais e dica de prova: a ideia usada é muito geral e útil em prova de concurso/exame:
Se (a_n) é limitada (por exemplo (-1)^n é limitada por 1 em módulo) e (b_n) tende a 0, então (a_n b_n) tende a 0. Aqui a_n=(-1)^n (limitada) e b_n=1/n (vai a 0), logo a_n b_n=c_n\to 0.
Intuitivamente: oscilações de sinal não impedem convergência se a amplitude vai para zero.
Força aí — a resposta é simples e elegante: a sequência converge e o limite é zero.