Determine os \lambda \in \mathbb{R} para que \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}4-\lambda & 2 & 0 \\\\ -1 & 1-\lambda & 0 \\\\ 0 & 1 & 2-\lambda\end{array}\right]=0.

Passo 1

O enunciado pede os valores de \lambda\in\mathbb{R} tais que
\det\begin{pmatrix} 4-\lambda & 2 & 0\\\\ -1 & 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} =0.
O assunto é cálculo de determinante de matriz 3\times3. Vamos aproveitar que a terceira coluna tem zeros nos dois primeiros elementos, o que facilita o cálculo por blocos.

Passo 2

Como os únicos termos não nulos da terceira coluna são na posição (3,3), a matriz é triangular por blocos e
\det(A)=(2-\lambda)\;\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 2\\[6pt]-1 & 1-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o determinante do bloco 2\times2:
\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 2\\[3pt]-1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(1-\lambda)-(-1)\cdot2 =(4-\lambda)(1-\lambda)+2.
Expandindo,
(4-\lambda)(1-\lambda)+2 =4-5\lambda+\lambda^2+2 =\lambda^2-5\lambda+6.
Logo
\det(A)=(2-\lambda)\,(\lambda^2-5\lambda+6).]

Passo 4

Fatorar o polinômio quadrático:
\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3).
Portanto
\det(A)=(2-\lambda)\,(\lambda-2)(\lambda-3) =-(\lambda-2)^2(\lambda-3).

Passo 5

Para anular o determinante, basta que algum dos fatores seja zero. Assim as soluções são \lambda=2 (raiz dupla) e \lambda=3.

Resposta

\lambda=2 ou \lambda=3.

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