Dado A=\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right] e X=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] Resolva a equação A X=2 X.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
A X = 2X
para A\in\mathbb{R}^{3\times3} e X\in\mathbb{R}^3. Isso é achar os autovetores de A associados ao autovalor 2, ou seja, resolver
(A - 2I)X = 0.

Passo 2

Calcular a matriz A - 2I. Temos
A - 2I = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\[4pt] -1 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\[4pt] -1 & -1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Escrever o sistema (A-2I)X=0. Se X=(x,y,z)^T, então
\begin{cases} 2x + 2y + 0\,z = 0,\\[4pt] -\,x - y + 0\,z = 0,\\[4pt] 0\,x + y + 0\,z = 0. \end{cases}]

Passo 4

Da terceira equação segue imediatamente
y = 0.
Substituindo em 2x+2y=0 e em -x - y=0 obtemos
2x = 0,\quad -x = 0
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x = 0.
A variável z não aparece em nenhuma equação, portanto é livre.

Passo 5

Assim, a solução geral do sistema é
X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\z\end{pmatrix} = z\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
com z\in\mathbb{R}.

Resposta

X = t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
para qualquer t\in\mathbb{R}.

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