Determine:
\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{x}{\lfloor x\rfloor-4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\to 4^{-}} \frac{x}{\lfloor x\rfloor - 4}.
Informações relevantes: o limite é lateral à esquerda ( x tende a 4 por valores menores que 4 ) e aparece a função piso \lfloor x\rfloor.

Passo 2

Lembrete sobre a função piso: \lfloor t\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a t. Exemplos rápidos para fixar a ideia: \lfloor 3{,}2\rfloor=3, \lfloor 3{,}999\rfloor=3, \lfloor -1{,}1\rfloor=-2. A função piso é constante em intervalos do tipo [n,n+1) e tem saltos nos inteiros n.

Passo 3

Como estamos fazendo x\to 4^{-}, por definição consideramos x muito próximos de 4 mas menores que 4. Ou seja, podemos tomar um vizinho de 4 à esquerda onde 3<x<4.
Para todo x com 3<x<4 vale \lfloor x\rfloor=3 (peguei este dado do comportamento da função piso definido no passo anterior). Portanto, no intervalo considerado o denominador é
\lfloor x\rfloor-4 = 3-4 = -1.

Passo 4

Com o denominador igual a -1 para esses x, a expressão simplifica-se para
\frac{x}{\lfloor x\rfloor-4}=\frac{x}{-1}=-x
para todo x em (3,4).
Agora tomamos o limite da função simplificada quando x\to 4^{-}. Como a função -x é contínua,
\lim_{x\to 4^{-}} -x = -4.
Intuitivamente: à medida que x se aproxima de 4 pela esquerda, -x se aproxima de -4.

Resposta

-4

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