Determine:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado e observações imediatas:
-
é a função piso (ou parte inteira), definida como o maior inteiro menor ou igual a . - A notação
significa que se aproxima de pelos valores maiores que (ou seja, por próximos de ). - Para qualquer
com vale (pela definição do piso). - Para tais
temos (denominador positivo quando nos aproximamos pela direita).
Passo 2
Usando a observação sobre a função piso: para todo
suficientemente próximo de
pela direita (isto é, para todo
),
Portanto, para esses
a expressão do limite fica
Passo 3
Agora analisamos o comportamento de
quando
. À medida que
se aproxima de
pela direita,
tende a
por valores positivos, isto é,
. Quando um denominador positivo tende a
, a fração com numerador fixo e positivo cresce sem limite. Exemplos numéricos para intuição:
,
, etc.
Passo 4
Podemos dar um argumento formal estilo definição de divergência: dado qualquer
, escolha
. Se
então
Logo a expressão pode ser feita maior que qualquer
quando
está suficientemente próximo de
pela direita. Isso mostra que a expressão diverge para
quando
.