Determine:
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\lfloor x\rfloor+1}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{\lfloor x\rfloor+1}{x-2}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado e observações imediatas:
  • \lfloor x\rfloor é a função piso (ou parte inteira), definida como o maior inteiro menor ou igual a x.
  • A notação x\to 2^{+} significa que x se aproxima de 2 pelos valores maiores que 2 (ou seja, por x>2 próximos de 2).
  • Para qualquer x com 2<x<3 vale \lfloor x\rfloor=2 (pela definição do piso).
  • Para tais x temos x-2>0 (denominador positivo quando nos aproximamos pela direita).

Passo 2

Usando a observação sobre a função piso: para todo x suficientemente próximo de 2 pela direita (isto é, para todo x\in(2,3)),
\lfloor x\rfloor=2.
Portanto, para esses x a expressão do limite fica
\frac{\lfloor x\rfloor+1}{x-2}=\frac{2+1}{x-2}=\frac{3}{x-2}.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de \dfrac{3}{x-2} quando x\to 2^{+}. À medida que x se aproxima de 2 pela direita, x-2 tende a 0 por valores positivos, isto é, x-2\to 0^{+}. Quando um denominador positivo tende a 0, a fração com numerador fixo e positivo cresce sem limite. Exemplos numéricos para intuição: \dfrac{3}{0{,}1}=30, \dfrac{3}{0{,}01}=300, etc.

Passo 4

Podemos dar um argumento formal estilo definição de divergência: dado qualquer M>0, escolha \delta=\dfrac{3}{M}. Se 0<x-2<\delta então
\frac{3}{x-2}>\frac{3}{\delta}=M.
Logo a expressão pode ser feita maior que qualquer M>0 quando x está suficientemente próximo de 2 pela direita. Isso mostra que a expressão diverge para +\infty quando x\to2^{+}.

Resposta

+\infty

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