Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y+x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y + xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis. Vamos usar a mudança para coordenadas polares e o teorema do aperto (squeeze theorem) para provar que o limite existe e achar seu valor.

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r\ge0,
então
x^{2}y + xy^{2} = r^{3}\bigl(\cos^{2}\theta\sin\theta + \cos\theta\sin^{2}\theta\bigr) = r^{3}\cos\theta\sin\theta(\cos\theta + \sin\theta),
enquanto
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Logo a função se torna
f(r,\theta) =\frac{x^{2}y + xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} =r\,\cos\theta\sin\theta(\cos\theta + \sin\theta).

Passo 3

Observe que
\bigl|\cos\theta\sin\theta(\cos\theta + \sin\theta)\bigr| \le |\cos\theta\sin\theta|\;|\cos\theta + \sin\theta| \le \frac12\!\times\!\sqrt2 =\frac{\sqrt2}{2},
pois |\cos\theta\sin\theta|\le\frac12 e |\cos\theta+\sin\theta|\le\sqrt2. Portanto
\bigl|f(r,\theta)\bigr| \le r\;\frac{\sqrt2}{2}.
Como r\to0 implica r\,\frac{\sqrt2}{2}\to0, pelo teorema do aperto concluímos que
\lim_{r\to0}f(r,\theta)=0
independentemente de \theta.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y + xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 0.

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