Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular
O conteúdo abordado é limite de função de duas variáveis. Para verificar se esse limite existe, vamos usar o teste de dependência de caminho (consequência da unicidade do valor-limite): se ao aproximar-se de
por diferentes curvas obtemos valores distintos, o limite não existe.
Passo 2
Considere o caminho dado por
, com
. Substituindo em cada parte da função temos
logo
No numerador,
Portanto, ao longo desse caminho,
Quando
mantendo
, o quociente tende a
que depende de
.
Passo 3
Pelo Teorema da unicidade do limite (se o limite existe, deve ser independente do caminho de aproximação), como o valor
varia com
, concluímos que o limite não é único. Logo, não existe.
Resposta
O limite não existe.