Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{9} y}{\left(x^{6}+y^{2}\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{9}y}{\bigl(x^{6}+y^{2}\bigr)^{2}}
O conteúdo abordado é limite de função de duas variáveis. Para verificar se esse limite existe, vamos usar o teste de dependência de caminho (consequência da unicidade do valor-limite): se ao aproximar-se de (0,0) por diferentes curvas obtemos valores distintos, o limite não existe.

Passo 2

Considere o caminho dado por y=k\,x^{3}, com k\in\mathbb{R}. Substituindo em cada parte da função temos
x^{6}+y^{2} = x^{6} + (k\,x^{3})^{2} = x^{6} + k^{2}x^{6} = x^{6}(1+k^{2}),
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\bigl(x^{6}+y^{2}\bigr)^{2} = x^{12}(1+k^{2})^{2}.
No numerador,
x^{9}y = x^{9}\,(k\,x^{3}) = k\,x^{12}.
Portanto, ao longo desse caminho,
\frac{x^{9}y}{\bigl(x^{6}+y^{2}\bigr)^{2}} = \frac{k\,x^{12}}{x^{12}(1+k^{2})^{2}} = \frac{k}{(1+k^{2})^{2}}.
Quando (x,y)\to(0,0) mantendo y=k\,x^{3}, o quociente tende a
\frac{k}{(1+k^{2})^{2}},
que depende de k.

Passo 3

Pelo Teorema da unicidade do limite (se o limite existe, deve ser independente do caminho de aproximação), como o valor \tfrac{k}{(1+k^{2})^{2}} varia com k, concluímos que o limite não é único. Logo, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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