Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{\left(e^{x}+e^{y}+e^{z}\right)^{2}}{e^{2 x}+e^{2 y}+e^{2 z}}.

Passo 1

Resumindo, queremos calcular
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{\bigl(e^{x}+e^{y}+e^{z}\bigr)^{2}}{e^{2x}+e^{2y}+e^{2z}}.
O conteúdo usado será: continuidade da função exponencial e as propriedades de limites de soma, potência e quociente.

Passo 2

Pela continuidade da exponencial (teorema da composição), temos
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}e^{x}=e^{0}=1, \quad \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}e^{y}=1, \quad \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}e^{z}=1,
e analogamente
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}e^{2x} = e^{2\cdot0} = 1, \quad \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}e^{2y}=1, \quad \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}e^{2z}=1.

Passo 3

Aplicando o teorema da soma de limites, temos
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\bigl(e^{x}+e^{y}+e^{z}\bigr) =1+1+1=3,
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\bigl(e^{2x}+e^{2y}+e^{2z}\bigr) =1+1+1=3.

Passo 4

Pelo teorema do limite da potência,
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\bigl(e^{x}+e^{y}+e^{z}\bigr)^{2} =\Bigl(\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}(e^{x}+e^{y}+e^{z})\Bigr)^{2} =3^{2}=9.

Passo 5

Como o limite do denominador é \,3\neq0, pelo teorema do quociente de limites
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{\bigl(e^{x}+e^{y}+e^{z}\bigr)^{2}}{e^{2x}+e^{2y}+e^{2z}} =\frac{9}{3}=3.

Resposta

O limite existe e vale 3.

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