Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow\left(\frac{\pi}{3}, 1, \pi\right)} \frac{\operatorname{sec} (x y)+\operatorname{sec} (y z)}{y-\operatorname{sec} (z)}.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y,z)\to\bigl(\tfrac{\pi}{3},1,\pi\bigr)} \frac{\operatorname{sec}(xy)+\operatorname{sec}(yz)}{y-\operatorname{sec}(z)}.
Este é um limite de função de três variáveis. Vamos usar que:
  1. A soma e o quociente de limites seguem as regras de álgebra de limites (desde que existam e o denominador não zere).
  2. A função \operatorname{sec}(u)=1/\cos(u) é contínua onde \cos(u)\neq0.

Passo 2

Verificamos o ponto de interesse \bigl(\tfrac{\pi}{3},1,\pi\bigr). Note que em torno deste ponto temos:
  • xy\to\tfrac{\pi}{3}\cdot1=\tfrac{\pi}{3}, onde \cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12\neq0.
  • yz\to1\cdot\pi=\pi, onde \cos(\pi)=-1\neq0.
  • z\to\pi, de modo que \operatorname{sec}(z)=1/\cos(z) é bem definida e contínua.
Portanto, podemos aplicar diretamente as regras de limite de funções contínuas e quociente de limites.

Passo 3

Calculamos o limite do numerador usando a continuidade de \operatorname{sec} e a soma de limites:
\lim_{(x,y,z)\to\bigl(\tfrac{\pi}{3},1,\pi\bigr)}\operatorname{sec}(xy) = \operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \frac{1}{\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)} = \frac{1}{\tfrac12} = 2,
\lim_{(x,y,z)\to\bigl(\tfrac{\pi}{3},1,\pi\bigr)}\operatorname{sec}(yz) = \operatorname{sec}(\pi) = \frac{1}{\cos(\pi)} = \frac{1}{-1} = -1.
Logo,
\lim_{(x,y,z)\to\bigl(\tfrac{\pi}{3},1,\pi\bigr)}\bigl[\operatorname{sec}(xy)+\operatorname{sec}(yz)\bigr] = 2 + (-1) = 1.

Passo 4

Calculamos o limite do denominador:
\lim_{(x,y,z)\to\bigl(\tfrac{\pi}{3},1,\pi\bigr)}\bigl[y - \operatorname{sec}(z)\bigr] = 1 - \operatorname{sec}(\pi) = 1 - \bigl(-1\bigr) = 2.
Como o limite do denominador é 2\neq0, podemos usar a regra do quociente de limites.

Passo 5

Usando o teorema do quociente de limites (quando o limite do denominador é não zero):
\lim_{(x,y,z)\to\bigl(\tfrac{\pi}{3},1,\pi\bigr)} \frac{\operatorname{sec}(xy)+\operatorname{sec}(yz)}{y-\operatorname{sec}(z)} = \frac{\lim(\operatorname{sec}(xy)+\operatorname{sec}(yz))}{\lim(y-\operatorname{sec}(z))} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac12

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