Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
Este é um limite de função de três variáveis. Vamos usar que:
- A soma e o quociente de limites seguem as regras de álgebra de limites (desde que existam e o denominador não zere).
- A função
é contínua onde .
Passo 2
Verificamos o ponto de interesse
. Note que em torno deste ponto temos:
-
, onde . -
, onde . -
, de modo que é bem definida e contínua.
Portanto, podemos aplicar diretamente as regras de limite de funções contínuas e quociente de limites.
Passo 3
Calculamos o limite do numerador usando a continuidade de
e a soma de limites:
Logo,
Passo 4
Calculamos o limite do denominador:
Como o limite do denominador é
, podemos usar a regra do quociente de limites.
Passo 5
Usando o teorema do quociente de limites (quando o limite do denominador é não zero):