Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede a avaliação do limite
.
O conteúdo aqui é limite em várias variáveis. Vamos usar o critério de unicidade de limite por meio de diferentes curvas (se o valor for distinto em duas curvas, o limite não existe).
O conteúdo aqui é limite em várias variáveis. Vamos usar o critério de unicidade de limite por meio de diferentes curvas (se o valor for distinto em duas curvas, o limite não existe).
Passo 2
Considere a reta
.
Substituindo em temos
Substituindo em
desde que
. Logo,
Passo 3
Considere agora a reta
.
Substituindo em temos
Substituindo em
desde que
. Logo,
Passo 4
Pelo Teorema da unicidade do limite em várias variáveis, se o limite existisse deveria ser o mesmo em toda curva de aproximação. Como along
dá
e along
dá
, os valores são diferentes. Logo, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.