Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo aqui é limite em várias variáveis. Vamos usar o critério de unicidade de limite por meio de diferentes curvas (se o valor for distinto em duas curvas, o limite não existe).

Passo 2

Considere a reta y=0.
Substituindo em \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} temos
\frac{x^{2}}{x^{2}+0^{2}} =\frac{x^{2}}{x^{2}} =1,
desde que x\neq0. Logo,
\lim_{(x,0)\to(0,0)}\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1.

Passo 3

Considere agora a reta x=0.
Substituindo em \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} temos
\frac{0^{2}}{0^{2}+y^{2}} =0,
desde que y\neq0. Logo,
\lim_{(0,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0.

Passo 4

Pelo Teorema da unicidade do limite em várias variáveis, se o limite existisse deveria ser o mesmo em toda curva de aproximação. Como along y=0 1 e along x=0 0, os valores são diferentes. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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