Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
z=\operatorname{sex}(x y) \cdot \cos (x+y).

Passo 1

O enunciado nos dá
z = \operatorname{sec}(xy)\,\cos(x+y),
e pede as derivadas parciais de primeira ordem \partial z/\partial x, \partial z/\partial y e de segunda ordem \partial^2 z/\partial x^2, \partial^2 z/\partial x\partial y, \partial^2 z/\partial y^2.
Vamos usar as regras do produto e a regra da cadeia, lembrando que
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{sec} u\bigr)=\operatorname{sec} u\tan u \quad\text{e}\quad \frac{d}{du}\bigl(\cos u\bigr)=-\sin u.

Passo 2

Para \partial z/\partial x aplicamos produto a \operatorname{sec}(xy) e \cos(x+y):
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[\operatorname{sec}(xy)\bigr]\cos(x+y) +\operatorname{sec}(xy)\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\cos(x+y)\bigr].
Como \frac{\partial}{\partial x}\bigl[\operatorname{sec}(xy)\bigr] =\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\cdot y e \frac{\partial}{\partial x}\bigl[\cos(x+y)\bigr] =-\sin(x+y), obtemos
\frac{\partial z}{\partial x} = y\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\cos(x+y) -\operatorname{sec}(xy)\sin(x+y).

Passo 3

Para \partial z/\partial y é análogo, trocando x por y no argumento da regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y} = x\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\cos(x+y) -\operatorname{sec}(xy)\sin(x+y).

Passo 4

Para \partial^2 z/\partial x^2 derivamos \partial z/\partial x em relação a x. O resultado, após aplicar novamente produto e cadeia, pode ser organizado como
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y^2\operatorname{sec}(xy)\bigl(\operatorname{sec}^2(xy)+\tan^2(xy)\bigr)\cos(x+y) -2y\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\sin(x+y) -\operatorname{sec}(xy)\cos(x+y).

Passo 5

Para o misto \partial^2 z/\partial y\partial x derivamos \partial z/\partial x em relação a y. O resultado fica
\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} =xy\,\operatorname{sec}(xy)\bigl(\operatorname{sec}^2(xy)+\tan^2(xy)\bigr)\cos(x+y) +\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\cos(x+y) -(x+y)\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\sin(x+y) -\operatorname{sec}(xy)\cos(x+y).

Passo 6

Para \partial^2 z/\partial y^2 derivamos \partial z/\partial y em relação a y. Por simetria ao caso de x, trocamos y por x em z_{xx}:
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^2\operatorname{sec}(xy)\bigl(\operatorname{sec}^2(xy)+\tan^2(xy)\bigr)\cos(x+y) -2x\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\sin(x+y) -\operatorname{sec}(xy)\cos(x+y).

Resposta

\displaystyle z_x = y\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\cos(x+y)\;-\;\operatorname{sec}(xy)\sin(x+y) \displaystyle z_y = x\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\cos(x+y)\;-\;\operatorname{sec}(xy)\sin(x+y) \displaystyle z_{xx} = y^2\operatorname{sec}(xy)\bigl(\operatorname{sec}^2(xy)+\tan^2(xy)\bigr)\cos(x+y) -2y\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\sin(x+y) -\operatorname{sec}(xy)\cos(x+y) \displaystyle z_{xy} = xy\,\operatorname{sec}(xy)\bigl(\operatorname{sec}^2(xy)+\tan^2(xy)\bigr)\cos(x+y) +\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\cos(x+y) -(x+y)\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\sin(x+y) -\operatorname{sec}(xy)\cos(x+y) \displaystyle z_{yy} = x^2\operatorname{sec}(xy)\bigl(\operatorname{sec}^2(xy)+\tan^2(xy)\bigr)\cos(x+y) -2x\operatorname{sec}(xy)\tan(xy)\sin(x+y) -\operatorname{sec}(xy)\cos(x+y).

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