O enunciado pede que se determine o limite, quando ele existir, ou que se demonstre que ele não existe, para a função
f(x,y)=\frac{5y-x}{2x-y}
quando (x,y)\to(0,0).
Informações dadas e observações imediatas:
A expressão é uma razão de duas formas lineares em x e y: numerador 5y-x e denominador 2x-y.
Em pontos onde 2x-y=0 a função não está definida (denominador zero).
A pergunta é: existe um número L tal que f(x,y)\to L para todo modo de aproximação (x,y)\to(0,0) por pontos onde f está definida?
Passo 2
Vamos lembrar um fato fundamental (teorema que usaremos): se o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e é igual a L, então para qualquer trajetória (ou sequência) (x(t),y(t)) que tenda a (0,0) e fique dentro do domínio de f, o valor f(x(t),y(t)) também tenderá a L. Em particular, se encontrarmos duas trajetórias que levam a limites diferentes, o limite total não existe.
Isto é um teste prático muito usado: “limites em várias variáveis devem ser independentes do caminho”. Se dois caminhos dão limites diferentes, concluímos que o limite não existe.
Passo 3
Uma família simples e útil de trajetórias são as retas que passam pela origem: y=kx com constante k\in\mathbb{R}. Vamos substituir y=kx em f(x,y) e simplificar (válido sempre que 2x-y\neq0, i.e., 2-k\neq0).
Substituindo y=kx temos:
f(x,kx)=\frac{5(kx)-x}{2x-(kx)}.
Agora fatoramos x no numerador e no denominador:
f(x,kx)=\frac{x(5k-1)}{x(2-k)}.
Se x\neq0 podemos cancelar x, obtendo:
f(x,kx)=\frac{5k-1}{2-k},
desde que 2-k\neq0. Observe que o resultado é uma constante (não depende de x) para cada k fixo diferente de 2. Isso significa que, ao aproximar a origem ao longo da reta y=kx (com k\neq2), o valor de f(x,y) é sempre exatamente \dfrac{5k-1}{2-k}, e portanto o limite ao longo dessa reta é
\lim_{(x,kx)\to(0,0)}f(x,y)=\frac{5k-1}{2-k}.
Passo 4
Agora usemos o resultado do passo anterior com escolhas concretas de k para verificar se o valor do limite depende do caminho.
Logo, ao aproximar pela reta y=x, obtemos limite 4.
Como -\tfrac{1}{2}\neq 4, encontramos duas trajetórias de aproximação à origem que dão limites diferentes.
Passo 5
Aplicando o teorema citado no Passo 2 (se existir limite único, deve ser o mesmo por todas as trajetórias), a existência de duas trajetórias que produzem valores distintos implica que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) NÃO existe.
Para reforçar a intuição: além disso, há a reta y=2x onde o denominador se anula. Próximo dessa reta é possível encontrar trajetórias em que a função fica arbitrariamente grande (comportamento de divergência), o que é compatível com a ausência de um limite finito único.