1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
n) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \operatorname{sen} \frac{1}{y}
x^{3}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o(s) limite(s) quando (x,y)\to(0,0). Os objetos que aparecem no texto são (peguei exatamente do enunciado):
  • a expressão \,x\sin\!\frac{1}{y}\,;
  • a expressão \,x^{3}\,.
Portanto as perguntas concretas são:
  1. Calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} x\sin\!\frac{1}{y}.
  2. Calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{3}.
Informações dadas/observações úteis:
  • A função \sin\!\frac{1}{y} não está definida quando y=0. Mesmo assim, o limite em (0,0) considera apenas pontos cujo par (x,y) aproxima (0,0) (pode aproximar por pontos com y\neq0); não é necessário que a função esteja definida no ponto (0,0).
  • Não há outras hipóteses no enunciado.

Passo 2

Anotei a importância do domínio: explicar breve e didaticamente por que é válido falar do limite mesmo que \sin\!\frac{1}{y} não esteja definida em y=0.
A ideia: um limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) considera valores de f(x,y) para pares (x,y) próximos de (0,0) e com (x,y)\neq(0,0). Se a função não está definida exatamente na linha y=0, isso não impede a existência do limite — basta que existam pontos com y\neq0 arbitrariamente próximos de (0,0) e que o comportamento desses pontos levem a um valor único. Ou seja, a indefinição em algumas direções não impede a análise do limite desde que se considere apenas pontos em que a função existe. Isso é comum em limites multivariáveis.

Passo 3

Vou tratar da primeira expressão \,x\sin\!\dfrac{1}{y}\,. Primeiro dou uma ferramenta que vou usar (enunciando-a claramente):
Teorema (Teorema do Confronto / Teorema do Sanduíche para limites em \mathbb{R}^2). Se g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y) numa vizinhança de (0,0) (exceto talvez no próprio ponto) e \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)=L, então \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L.
Aplicação prática: sabemos que para todo número real t vale -1\le\sin t\le1. Tomando t=\dfrac{1}{y} (sempre que y\neq0) obtemos
-1 \le \sin\!\frac{1}{y} \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por x (atenção ao sinal): para qualquer (x,y) com y\neq0,
-\,|x| \le x\sin\!\frac{1}{y} \le |x|.
Aqui usei que |x| é igual a \max\{x,-x\}, então essa forma é válida sem precisar separar casos de x positivo ou negativo.

Passo 4

Agora uso o teorema do confronto. As funções que servem de “limites” são g(x,y)=-|x| e h(x,y)=|x|. Essas duas funções têm limite 0 quando (x,y)\to(0,0), porque dependem apenas de x e \lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|=0.
Portanto, pelas desigualdades do passo anterior e pelo teorema do confronto,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\sin\!\frac{1}{y} = 0.
Comentários didáticos adicionais (como usar isso na prova): sempre que uma função contém um fator oscilante limitado (como \sin ou \cos) multiplicado por um fator que tende a 0 (aqui x), a desigualdade |\sin|\le1 dá a estimativa
\left|x\sin\!\frac{1}{y}\right|\le |x|,
e com isso o teorema do confronto é a ferramenta imediata para concluir que o limite é 0.

Passo 5

Vou agora tratar da segunda expressão \,x^{3}\,.
Observação simples e útil: a função f(x,y)=x^{3} depende apenas da coordenada x. Para limites em \mathbb{R}^{2}, se \lim_{(x,y)\to(0,0)} x = 0 (o que é óbvio), então pela continuidade do polinômio t\mapsto t^{3} em t=0 segue que x^{3}\to 0.
Para ser bem explícito e elementar (sem usar o termo “continuidade” se preferir): para todo (x,y),
|x^{3}| = |x|^{3}.
Se (x,y)\to(0,0) então |x|\to 0, logo |x|^{3}\to 0. Portanto |x^{3}|\to 0, isto é,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{3}=0.

Passo 6

Verificação por caminhos (para reforçar a confiança): para qualquer caminho que leve a (0,0) — por exemplo y=0, y=x, y=x^{2}, ou x=0 — tanto x\sin(1/y) (quando a função estiver definida no caminho; se o caminho tiver y=0 então a função x\sin(1/y) não está definida nos pontos com y=0, mas pode-se aproximar por caminhos com y\neq0) quanto x^{3} tendem a 0. Isso é coerente com os resultados encontrados e confirma independência de caminho.

Resposta

\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} x\sin\!\frac{1}{y} = 0
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{3} = 0

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