1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
z) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{(x-1)^{2} y}{(x-1)^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite
\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{(x-1)^{2}y}{(x-1)^{4}+y^{2}}
ou demonstrar que ele não existe. As informações dadas são apenas a expressão da função e o ponto de aproximação (1,0). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Uma mudança de variável simples deixa a escrita mais clara: defina u=x-1. Então (x,y)\to(1,0) equivale a (u,y)\to(0,0) e a função fica
f(u,y)=\frac{u^{2}y}{u^{4}+y^{2}}.
Essa tradução (substituir x-1 por u) é permitida porque é apenas uma translação no eixo x; limite em (x,y)\to(1,0) é o mesmo que limite em (u,y)\to(0,0). Trabalhar com (u,y) facilita ver relações de ordem entre u e y.

Passo 3

Lembrete importante (teorema usado para decidir existência): se \lim_{(u,y)\to(0,0)} f(u,y)=L existe, então para qualquer caminho (qualquer relação y=\varphi(u)) que leve (u,y) a (0,0) o limite unidimensional
\lim_{u\to 0} f\big(u,\varphi(u)\big)
também existe e é igual a L. Portanto, uma maneira prática de provar que o limite não existe é encontrar duas curvas de aproximação para as quais esses limites unidimensionais sejam diferentes. Se acharmos duas curvas com limites distintos, concluímos que o limite bidimensional não existe.

Passo 4

Testo uma família simples de caminhos: retas y=m u (isto é, y=m(x-1)). Substituindo em f:
f(u,m u)=\frac{u^{2}\cdot(m u)}{u^{4}+(m u)^{2}}=\frac{m u^{3}}{u^{2}(u^{2}+m^{2})}=\frac{m u}{u^{2}+m^{2}}.
À medida que u\to 0 isso tende a 0, porque o numerador tem fator u e o denominador tende a m^{2}\neq 0 (ou para m=0 o quociente é exatamente 0). Então, ao longo de qualquer reta passando pela origem (no sistema (u,y)), o limite é 0.

Passo 5

Agora testamos caminhos do tipo parabólico y=k u^{2} (ou seja y=k(x-1)^{2}). Substituindo:
f(u,k u^{2})=\frac{u^{2}\cdot(k u^{2})}{u^{4}+(k u^{2})^{2}}=\frac{k u^{4}}{u^{4}+k^{2}u^{4}}=\frac{k}{1+k^{2}}.
Note que nessa substituição os fatores u^{4} cancelam e o resultado é uma constante que não depende de u. Assim, ao longo da curva y=k u^{2} o limite quando u\to 0 é exatamente \dfrac{k}{1+k^{2}}.

Passo 6

Escolhendo valores diferentes de k obtemos limites distintos. Por exemplo:
  • Para k=0 (isto é, a curva y=0) temos \frac{k}{1+k^{2}}=\frac{0}{1+0}=0.
  • Para k=1 (isto é, y=u^{2} ou y=(x-1)^{2}) temos \frac{k}{1+k^{2}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Como ao aproximar (x,y) de (1,0) por y=0 o valor da função tende a 0 e por y=(x-1)^{2} tende a \tfrac{1}{2}, obtemos dois limites diferentes ao longo de dois caminhos. Pelo teorema citado no Passo 3 isso implica que o limite bidimensional não existe.

Passo 7

Uma observação extra para intuição: se definirmos t=\dfrac{y}{u^{2}} (quando u\neq 0) então
f(u,y)=\frac{u^{2}y}{u^{4}+y^{2}}=\frac{u^{4}\,t}{u^{4}+u^{4}t^{2}}=\frac{t}{1+t^{2}}.
Isto mostra que os valores possíveis da função ao aproximar a origem dependem do valor limite de t. Variando t ao longo de \mathbb{R} obtém-se toda a família \dfrac{t}{1+t^{2}}, cujo intervalo de valores é \big(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\big) (com extremos \pm\tfrac{1}{2} atingidos em t=\pm1). Logo há muitos valores-limite possíveis dependendo do caminho, confirmando que não há um único limite.

Resposta

O limite não existe.

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