- Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
z)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite
ou demonstrar que ele não existe. As informações dadas são apenas a expressão da função e o ponto de aproximação
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Uma mudança de variável simples deixa a escrita mais clara: defina
. Então
equivale a
e a função fica
Essa tradução (substituir
por
) é permitida porque é apenas uma translação no eixo
; limite em
é o mesmo que limite em
. Trabalhar com
facilita ver relações de ordem entre
e
.
Passo 3
Lembrete importante (teorema usado para decidir existência): se
existe, então para qualquer caminho (qualquer relação
) que leve
a
o limite unidimensional
também existe e é igual a
. Portanto, uma maneira prática de provar que o limite não existe é encontrar duas curvas de aproximação para as quais esses limites unidimensionais sejam diferentes. Se acharmos duas curvas com limites distintos, concluímos que o limite bidimensional não existe.
Passo 4
Testo uma família simples de caminhos: retas
(isto é,
). Substituindo em
:
À medida que
isso tende a
, porque o numerador tem fator
e o denominador tende a
(ou para
o quociente é exatamente
). Então, ao longo de qualquer reta passando pela origem (no sistema
), o limite é
.
Passo 5
Agora testamos caminhos do tipo parabólico
(ou seja
). Substituindo:
Note que nessa substituição os fatores
cancelam e o resultado é uma constante que não depende de
. Assim, ao longo da curva
o limite quando
é exatamente
.
Passo 6
Escolhendo valores diferentes de
obtemos limites distintos. Por exemplo:
- Para
(isto é, a curva ) temos - Para
(isto é, ou ) temos
Como ao aproximar
de
por
o valor da função tende a
e por
tende a
, obtemos dois limites diferentes ao longo de dois caminhos. Pelo teorema citado no Passo 3 isso implica que o limite bidimensional não existe.
Passo 7
Uma observação extra para intuição: se definirmos
(quando
) então
Isto mostra que os valores possíveis da função ao aproximar a origem dependem do valor limite de
. Variando
ao longo de
obtém-se toda a família
, cujo intervalo de valores é
(com extremos
atingidos em
). Logo há muitos valores-limite possíveis dependendo do caminho, confirmando que não há um único limite.
Resposta
O limite não existe.