- Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
ab)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
- Pede-se o valor do limite
- Informação importante sobre o domínio da função: o denominador é
. Onde a função não está definida, ou seja, sobre as retas e a expressão original não vale. O ponto pertence à reta , então a função original não está definida em ; temos que investigar o limite (pela definição de limite em duas variáveis, só consideramos pontos da vizinhança onde a função está definida).
As perguntas implícitas são:
- O limite existe?
- Se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
Fazer manipulação algébrica para simplificar a expressão sempre que possível.
- Fatoramos numerador e denominador:
- Para pontos com
(ou seja, fora da reta ) podemos cancelar o fator comum . Assim, para todos os com e temos
Observação didática: essa simplificação é legítima porque o cancelamento só foi feito em pontos onde o fator que se cancela é diferente de zero. A expressão simplificada define uma função
que coincide com a função original em toda a vizinhança de
exceto possivelmente sobre a reta
(onde a original não está definida).
Passo 3
Identificar e enunciar os teoremas usados para passar da simplificação ao cálculo do limite.
Teorema 1 (igualdade em vizinhança): Se duas funções
e
coincidem em todos os pontos de alguma vizinhança de
com possível exclusão de
(isto é,
para todos
com
), então
desde que um desses limites exista.
Teorema 2 (continuidade de funções racionais): Polinômios são contínuos; quociente de polinômios é contínuo em pontos onde o denominador é não nulo. Consequentemente, se a função
está bem definida em
(isto é,
), então
é contínua em
e vale
Também podemos usar a regra de limite para quociente: se
e
existem e o segundo limite é diferente de zero, então
Passo 4
Aplicar os teoremas ao caso concreto.
-
A função original coincide com
em toda vizinhança de exceto sobre a reta . Em particular, existe uma vizinhança de onde está próximo de e, portanto, não nulo; assim é bem definida e contínua nessa vizinhança. -
Pelo Teorema 1, o limite do original quando
é igual ao limite de quando . Pelo Teorema 2 (continuidade de em ) tem-se
- Alternativamente, usando a regra do quociente de limites:
com denominador limite não nulo, logo
Passo 5
Responder à preocupação sobre caminhos de aproximação e pontos onde a função original não está definida.
-
A existência do limite exige que para toda sequência
no domínio da função (isto é, com ) que converge para a imagem convirja para o mesmo número. A simplificação mostrou que em todo ponto do domínio suficientemente próximo de o valor é , e por continuidade essa razão tende a quando . Portanto o limite, tomado sobre pontos onde a função está definida, existe e vale . -
Nota: não se pode avaliar diretamente a expressão original em pontos da reta
(incluindo ) porque dá ; mas isso não impede a existência do limite, desde que os valores em pontos próximos (onde a expressão está definida) se aproximem de um único valor — o que ocorreu.