1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
ab) \lim _{(x, y) \rightarrow(2,2)} \frac{x^{3}-x^{2} y}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Pede-se o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(2,2)} \frac{x^{3}-x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}.
  • Informação importante sobre o domínio da função: o denominador é x^{2}-y^{2}. Onde x^{2}-y^{2}=0 a função não está definida, ou seja, sobre as retas x=y e x=-y a expressão original não vale. O ponto (2,2) pertence à reta x=y, então a função original não está definida em (2,2); temos que investigar o limite (pela definição de limite em duas variáveis, só consideramos pontos da vizinhança onde a função está definida).
As perguntas implícitas são:
  • O limite existe?
  • Se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

Fazer manipulação algébrica para simplificar a expressão sempre que possível.
  • Fatoramos numerador e denominador:
x^{3}-x^{2}y = x^{2}(x-y), \qquad x^{2}-y^{2} = (x-y)(x+y).
  • Para pontos com x\neq y (ou seja, fora da reta x=y) podemos cancelar o fator comum (x-y). Assim, para todos os (x,y) com x\neq y e x+y\neq 0 temos
\frac{x^{3}-x^{2}y}{x^{2}-y^{2}} = \frac{x^{2}(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^{2}}{x+y}.
Observação didática: essa simplificação é legítima porque o cancelamento só foi feito em pontos onde o fator que se cancela é diferente de zero. A expressão simplificada define uma função g(x,y)=\dfrac{x^{2}}{x+y} que coincide com a função original em toda a vizinhança de (2,2) exceto possivelmente sobre a reta x=y (onde a original não está definida).

Passo 3

Identificar e enunciar os teoremas usados para passar da simplificação ao cálculo do limite.
Teorema 1 (igualdade em vizinhança): Se duas funções f e g coincidem em todos os pontos de alguma vizinhança de (a,b) com possível exclusão de (a,b) (isto é, f(x,y)=g(x,y) para todos (x,y) com 0<\| (x,y)-(a,b)\|<\delta), então
\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y),
desde que um desses limites exista.
Teorema 2 (continuidade de funções racionais): Polinômios são contínuos; quociente de polinômios é contínuo em pontos onde o denominador é não nulo. Consequentemente, se a função g(x,y)=\dfrac{x^{2}}{x+y} está bem definida em (a,b) (isto é, a+b\neq0), então g é contínua em (a,b) e vale
\lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y) = g(a,b).
Também podemos usar a regra de limite para quociente: se \lim x^{2} e \lim (x+y) existem e o segundo limite é diferente de zero, então
\lim \frac{x^{2}}{x+y} = \frac{\lim x^{2}}{\lim (x+y)}.

Passo 4

Aplicar os teoremas ao caso concreto.
  • A função original coincide com g(x,y)=\dfrac{x^{2}}{x+y} em toda vizinhança de (2,2) exceto sobre a reta x=y. Em particular, existe uma vizinhança de (2,2) onde x+y está próximo de 4 e, portanto, não nulo; assim g é bem definida e contínua nessa vizinhança.
  • Pelo Teorema 1, o limite do original quando (x,y)\to(2,2) é igual ao limite de g quando (x,y)\to(2,2). Pelo Teorema 2 (continuidade de g em (2,2)) tem-se
\lim_{(x,y)\to(2,2)} \frac{x^{2}}{x+y} = \frac{2^{2}}{2+2} = \frac{4}{4} = 1.
  • Alternativamente, usando a regra do quociente de limites:
\lim_{(x,y)\to(2,2)} x^{2} = 4, \qquad \lim_{(x,y)\to(2,2)} (x+y) = 4,
com denominador limite não nulo, logo
\lim_{(x,y)\to(2,2)} \frac{x^{2}}{x+y} = \frac{4}{4}=1.

Passo 5

Responder à preocupação sobre caminhos de aproximação e pontos onde a função original não está definida.
  • A existência do limite exige que para toda sequência (x_n,y_n) no domínio da função (isto é, com x_n^2\neq y_n^2) que converge para (2,2) a imagem convirja para o mesmo número. A simplificação mostrou que em todo ponto do domínio suficientemente próximo de (2,2) o valor é x_n^{2}/(x_n+y_n), e por continuidade essa razão tende a 1 quando (x_n,y_n)\to(2,2). Portanto o limite, tomado sobre pontos onde a função está definida, existe e vale 1.
  • Nota: não se pode avaliar diretamente a expressão original em pontos da reta x=y (incluindo (2,2)) porque dá 0/0; mas isso não impede a existência do limite, desde que os valores em pontos próximos (onde a expressão está definida) se aproximem de um único valor — o que ocorreu.

Resposta

1

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