Determine o limite de
, nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
A pergunta é: qual é o limite de
quando
?\n
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de . Não há outras condições; queremos determinar
.
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de
Passo 2
Vamos reescrever
como um produto para entender melhor sua estrutura. Lembrando que
, temos
Explicação didática: transformar o fatorial em produto é uma ideia natural —
é o produto dos inteiros de
até
— e dividir por
(com
fatores) significa comparar cada fator
com
, daí o produto
.
Passo 3
Agora vamos obter uma desigualdade útil que mostre que
fica muito pequeno quando
cresce. Observe que, para
,
Mais ainda, para os primeiros aproximadamente metade dos fatores temos uma cota melhor: se
então
Portanto ao separar os fatores do produto em dois blocos — os
primeiros e os restantes — obtemos a desigualdade
Explicação didática: os fatores da segunda metade são ≤1, então só a primeira metade (cada um ≤1/2) determina uma forte decaída do produto; a desigualdade acima captura isso.
Passo 4
Mostramos acima que
. Agora é preciso entender o comportamento do lado direito quando
. Use o fato geral (que aqui eu explico): se
então
quando
. Intuição e justificativa curta:
é uma progressão geométrica com razão
menor que
, então os termos diminuem e tendem a
— formalmente, dado
podemos tomar
(como
) para garantir
. Aplicando isso com
, obtemos
porque
quando
.
Passo 5
Agora aplicamos o teorema do confronto (squeeze theorem). Sabemos que para todo
vale
e o limite do termo da direita é
. Pelo teorema do confronto, o limite de
também é
. Intuição final:
está apertado entre
e uma sequência geométrica que vai a
; portanto
só pode ir a
.