Determine o limite de \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, nos seguintes casos:
x_{n}=n!/ n^{n}.

Passo 1

O enunciado define a sequência \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} por
x_{n}=\frac{n!}{n^{n}}.
A pergunta é: qual é o limite de \left(x_{n}\right) quando n\to\infty?\n
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de x_{n}. Não há outras condições; queremos determinar \lim_{n\to\infty} x_n.

Passo 2

Vamos reescrever x_{n} como um produto para entender melhor sua estrutura. Lembrando que n!=1\cdot2\cdot3\cdots n, temos
x_{n}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdots n}{n^{n}}=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}.
Explicação didática: transformar o fatorial em produto é uma ideia natural — n! é o produto dos inteiros de 1 até n — e dividir por n^{n}=n\cdot n\cdots n (com n fatores) significa comparar cada fator k com n, daí o produto \prod_{k=1}^{n} (k/n).

Passo 3

Agora vamos obter uma desigualdade útil que mostre que x_n fica muito pequeno quando n cresce. Observe que, para k\in\{1,2,\dots,n\},
0<\frac{k}{n}\le 1.
Mais ainda, para os primeiros aproximadamente metade dos fatores temos uma cota melhor: se k\le \lfloor n/2\rfloor então
\frac{k}{n}\le\frac{\lfloor n/2\rfloor}{n}\le\frac{1}{2}.
Portanto ao separar os fatores do produto em dois blocos — os \lfloor n/2\rfloor primeiros e os restantes — obtemos a desigualdade
x_{n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n} =\left(\prod_{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{k}{n}\right)\!\left(\prod_{k=\lfloor n/2\rfloor+1}^{n}\frac{k}{n}\right) \le\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}\cdot 1 =\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}.
Explicação didática: os fatores da segunda metade são ≤1, então só a primeira metade (cada um ≤1/2) determina uma forte decaída do produto; a desigualdade acima captura isso.

Passo 4

Mostramos acima que 0\le x_n\le \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}. Agora é preciso entender o comportamento do lado direito quando n\to\infty. Use o fato geral (que aqui eu explico): se 0<q<1 então q^{m}\to 0 quando m\to\infty. Intuição e justificativa curta: q^{m} é uma progressão geométrica com razão q menor que 1, então os termos diminuem e tendem a 0 — formalmente, dado \varepsilon>0 podemos tomar m>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln q} (como \ln q<0) para garantir q^m<\varepsilon. Aplicando isso com q=\tfrac{1}{2}, obtemos
\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}\longrightarrow 0\quad\text{quando }n\to\infty,
porque \lfloor n/2\rfloor\to\infty quando n\to\infty.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema do confronto (squeeze theorem). Sabemos que para todo n vale
0\le x_n\le\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor},
e o limite do termo da direita é 0. Pelo teorema do confronto, o limite de x_n também é 0. Intuição final: x_n está apertado entre 0 e uma sequência geométrica que vai a 0; portanto x_n só pode ir a 0.

Resposta

\,0\,

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