Exercício 6. Verifique que a série geométrica \sum a^{n} converge se, e somente se, |a|<1, e calcule o seu limite.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar quando a série \sum a^{n} converge e, quando converge, calcular o seu limite (a soma da série).
Informações dadas (assumidas para resolver a questão): a série é a série infinita com termos a^{n} e índice começando em n=0, isto é consideramos a série
\sum_{n=0}^{\infty} a^{n}.
O parâmetro a é um número real (podemos discutir casos especiais). A tarefa é provar a condição necessária e suficiente de convergência (isto é, mostrar a equivalência) e encontrar a soma quando houver convergência.

Passo 2

Definição básica que vamos usar (passo didático): uma série \sum_{n=0}^{\infty} u_n converge se a sequência das somas parciais
S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n
tem limite finito quando N\to\infty. No nosso caso u_n=a^n, então definimos a soma parcial
S_N=\sum_{n=0}^{N} a^{n}.
A estratégia é obter uma fórmula explícita para S_N (em função de a e N) e depois estudar o limite de S_N quando N\to\infty.

Passo 3

Cálculo da soma parcial (truque padrão da geométrica): suponha a\neq 1. Escrevemos
S_N = 1 + a + a^{2} + \cdots + a^{N}.
Multiplicando S_N por (1-a) obtemos uma telescopagem. Mostrando o passo:
(1-a)S_N = S_N - aS_N = (1 + a + a^{2} + \cdots + a^{N}) - (a + a^{2} + \cdots + a^{N} + a^{N+1}).
Ao subtrair, quase tudo cancela e sobra apenas
(1-a)S_N = 1 - a^{N+1}.
Logo, para a\neq 1,
S_N = \frac{1 - a^{N+1}}{1-a}.
Esse é o ponto-chave: temos uma expressão simples para a soma parcial.

Passo 4

Análise do limite quando |a|<1 (caso de convergência): se |a|<1 então a^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Um argumento rápido e intuitivo: escreva r=|a| com 0\le r<1; temos |a^{N+1}|=r^{N+1} e a sequência r^{n} tende a 0 quando n\to\infty (é uma sequência geométrica decrescente que se aproxima de zero). Portanto a^{N+1}\to 0. Usando a expressão de S_N obtemos
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \frac{1 - a^{N+1}}{1-a} = \frac{1-0}{1-a} = \frac{1}{1-a}.
Assim, quando |a|<1 a série converge e sua soma é \dfrac{1}{1-a}.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar a ideia (didático):
  • Se a=\tfrac{1}{2}, então \sum_{n=0}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} = \dfrac{1}{1-\tfrac{1}{2}} = 2.
  • Se a=-\tfrac{1}{2}, então \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n} = \dfrac{1}{1-(-\tfrac{1}{2})} = \dfrac{1}{1+\tfrac{1}{2}} = \tfrac{2}{3}.
    Esses exemplos mostram que mesmo números negativos com |a|<1 funcionam: os termos vão alternando sinal mas o módulo decresce para zero, e a soma parcial tende ao valor dado.

Passo 6

Análise dos casos em que |a|\ge 1 (divergência): usamos a mesma expressão de S_N quando a\neq 1:
S_N = \frac{1 - a^{N+1}}{1-a}.
  • Se |a|>1, então |a^{N+1}|\to\infty quando N\to\infty. Da expressão acima fica claro que S_N não tem limite finito (a parcela com a^{N+1} faz S_N divergir), logo a série diverge.
  • Se a=1, então os termos são todos 1 e S_N=\sum_{n=0}^{N}1 = N+1\to\infty, logo diverge.
  • Se a=-1, os termos são 1,-1,1,-1,\dots e as somas parciais alternam entre 1 e 0; portanto não há limite quando N\to\infty (oscila), logo diverge.
    Portanto para qualquer a com |a|\ge 1 a série não converge.

Passo 7

Conclusão lógica (necessidade e suficiência): juntando os resultados dos passos anteriores temos que a série \sum_{n=0}^{\infty} a^{n} converge se e somente se |a|<1. Além disso, quando |a|<1 sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} = \frac{1}{1-a}.

Resposta

Converge se, e somente se, |a|<1.\nSe |a|<1, \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a^{n}=\frac{1}{1-a}.

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