Exercício 6. Verifique que a série geométrica
converge se, e somente se,
, e calcule o seu limite.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar quando a série
converge e, quando converge, calcular o seu limite (a soma da série).
Informações dadas (assumidas para resolver a questão): a série é a série infinita com termos e índice começando em
, isto é consideramos a série
Informações dadas (assumidas para resolver a questão): a série é a série infinita com termos
O parâmetro
é um número real (podemos discutir casos especiais). A tarefa é provar a condição necessária e suficiente de convergência (isto é, mostrar a equivalência) e encontrar a soma quando houver convergência.
Passo 2
Definição básica que vamos usar (passo didático): uma série
converge se a sequência das somas parciais
tem limite finito quando
. No nosso caso
, então definimos a soma parcial
A estratégia é obter uma fórmula explícita para
(em função de
e
) e depois estudar o limite de
quando
.
Passo 3
Cálculo da soma parcial (truque padrão da geométrica): suponha
. Escrevemos
Multiplicando
por
obtemos uma telescopagem. Mostrando o passo:
Ao subtrair, quase tudo cancela e sobra apenas
Logo, para
,
Esse é o ponto-chave: temos uma expressão simples para a soma parcial.
Passo 4
Análise do limite quando
(caso de convergência): se
então
quando
. Um argumento rápido e intuitivo: escreva
com
; temos
e a sequência
tende a
quando
(é uma sequência geométrica decrescente que se aproxima de zero). Portanto
. Usando a expressão de
obtemos
Assim, quando
a série converge e sua soma é
.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar a ideia (didático):
- Se
, então . - Se
, então .
Esses exemplos mostram que mesmo números negativos comfuncionam: os termos vão alternando sinal mas o módulo decresce para zero, e a soma parcial tende ao valor dado.
Passo 6
Análise dos casos em que
(divergência): usamos a mesma expressão de
quando
:
- Se
, então quando . Da expressão acima fica claro que não tem limite finito (a parcela com faz divergir), logo a série diverge. - Se
, então os termos são todos e , logo diverge. - Se
, os termos são e as somas parciais alternam entre e ; portanto não há limite quando (oscila), logo diverge.
Portanto para qualquercom a série não converge.
Passo 7
Conclusão lógica (necessidade e suficiência): juntando os resultados dos passos anteriores temos que a série
converge se e somente se
. Além disso, quando
sua soma é
Resposta
Converge se, e somente se,
.\nSe
,
.