determine o limite.
\lim _{t \rightarrow 3}\left(t^{2} \mathbf{i}+2 t \mathbf{j}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial \mathbf{r}(t)=t^{2}\mathbf{i}+2t\,\mathbf{j}
quando t\to3. Vamos usar a propriedade de que o limite de uma função vetorial se calcula componente a componente, junto com a continuidade de polinômios.

Passo 2

Aplicando o limite componente a componente, temos
\lim_{t\to3}\bigl(t^{2}\mathbf{i}+2t\,\mathbf{j}\bigr) =\lim_{t\to3}t^{2}\,\mathbf{i}+\lim_{t\to3}2t\,\mathbf{j}.

Passo 3

Como t^{2} e 2t são funções contínuas, \lim_{t\to3}t^{2}=3^{2}=9
e \lim_{t\to3}2t=2\cdot3=6.

Passo 4

Substituindo esses valores nas componentes, o limite da função vetorial é
9\,\mathbf{i}+6\,\mathbf{j}.

Resposta

9\mathbf{i}+6\mathbf{j}

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