determine o limite.
\lim _{t \rightarrow \pi / 4}(\cos t, \operatorname{sen} t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função vetorial \mathbf{f}(t) = (\cos t,\;\sin t)
quando t \to \tfrac\pi4. O conteúdo aqui é limite de função vetorial e vamos usar a propriedade de continuidade das funções trigonométricas.

Passo 2

Pela propriedade de limite de função vetorial, temos
\lim_{t\to \tfrac\pi4}(\cos t,\;\sin t) = \Bigl(\lim_{t\to \tfrac\pi4}\cos t,\;\lim_{t\to \tfrac\pi4}\sin t\Bigr).
Como \cos t e \sin t são funções contínuas, podemos simplesmente substituir t=\tfrac\pi4.

Passo 3

Calculando as componentes em t=\tfrac\pi4:
\cos\!\Bigl(\tfrac\pi4\Bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\!\Bigl(\tfrac\pi4\Bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\lim_{t\to \tfrac\pi4}(\cos t,\;\sin t) = \Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).

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