Determine os limites, caso existam.
Calcule os limites
\lim _{P \rightarrow(0,0)} e^{3 x-2 y}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite, quando o ponto P=(x,y) tende a (0,0), da função \,e^{3x-2y}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Função dada: \;f(x,y)=e^{3x-2y}.
  • Queremos \displaystyle \lim_{P\to(0,0)} e^{3x-2y}, isto é, o comportamento de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeiro identifico o que acontece com o expoente linear \;3x-2y quando (x,y)\to(0,0). Vou mostrar que esse expoente tende a 0.
Mostro uma desigualdade simples:
|3x-2y|\le 3|x|+2|y|.
Como |x|\to0 e |y|\to0 quando (x,y)\to(0,0), a soma 3|x|+2|y| tende a 0. Portanto:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (3x-2y)=0.

Passo 3

Agora uso uma propriedade básica: a função exponencial u\mapsto e^{u} é contínua em todo \mathbb{R}. Em palavras: se uma sequência (ou um parâmetro) u tende a um valor u_0, então e^{u} tende a e^{u_0}. Aplicando isto ao caso em que u=3x-2y e u_0=0, obtenho a consequência direta:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{3x-2y}=e^{\lim_{(x,y)\to(0,0)}(3x-2y)}=e^{0}.

Passo 4

Calculo o valor numérico final do exponencial em 0:
e^{0}=1.
Logo, pela composição de limites e pela continuidade do exponencial, o limite procurado é 1.

Passo 5

Para ficar totalmente rigoroso, faço uma prova \varepsilon- \delta curta (opcional, mas útil para a prova): seja \varepsilon>0. Como e^{u} é contínua em u=0, existe \eta>0 tal que |u|<\eta implica |e^{u}-1|<\varepsilon. Agora escolho
\delta=\frac{\eta}{5}.
Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |x|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta e |y|<\delta, daí
|3x-2y|\le 3|x|+2|y|<3\delta+2\delta=5\delta=\eta.
Pelo vínculo anterior, |e^{3x-2y}-1|<\varepsilon. Isso mostra que o limite é realmente 1.

Passo 6

Um teste de sanidade: se eu seguir caminhos específicos para (0,0),
  • pela reta y=0 tenho e^{3x}\to e^{0}=1;
  • pela reta x=0 tenho e^{-2y}\to e^{0}=1;
  • pela reta y=\tfrac{3}{2}x a função vale exatamente e^{3x-2(3/2)x}=e^{0}=1 para todos os x.
    Todos esses caminhos dão limite 1, coerente com a conclusão geral.

Passo 7

Conclusão final: o limite existe e é igual a 1.

Resposta

1

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