Determine os limites, caso existam.
Calcule os limites
Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite, quando o ponto
tende a
, da função
.
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
- Função dada:
. - Queremos
, isto é, o comportamento de quando se aproxima de .
Passo 2
Primeiro identifico o que acontece com o expoente linear
quando
. Vou mostrar que esse expoente tende a
.
Mostro uma desigualdade simples:
Como
e
quando
, a soma
tende a
. Portanto:
Passo 3
Agora uso uma propriedade básica: a função exponencial
é contínua em todo
. Em palavras: se uma sequência (ou um parâmetro)
tende a um valor
, então
tende a
. Aplicando isto ao caso em que
e
, obtenho a consequência direta:
Passo 4
Calculo o valor numérico final do exponencial em
:
Logo, pela composição de limites e pela continuidade do exponencial, o limite procurado é
.
Passo 5
Para ficar totalmente rigoroso, faço uma prova
-
curta (opcional, mas útil para a prova): seja
. Como
é contínua em
, existe
tal que
implica
. Agora escolho
Se
então
e
, daí
Pelo vínculo anterior,
. Isso mostra que o limite é realmente
.
Passo 6
Um teste de sanidade: se eu seguir caminhos específicos para
,
- pela reta
tenho ; - pela reta
tenho ; - pela reta
a função vale exatamente para todos os .
Todos esses caminhos dão limite, coerente com a conclusão geral.
Passo 7
Conclusão final: o limite existe e é igual a
.