Determine os limites, caso existam.
Calcule os limites
\lim _{P \rightarrow(0,0)} \frac{x+y}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite, quando P=(x,y) tende a (0,0), da função
f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • A função só está definida quando o denominador não é zero, ou seja, apenas em pontos com x\neq y. Isso significa que não podemos avaliar f exatamente em pontos onde x=y.
  • A pergunta é: existe um valor L tal que f(x,y) tende a L para todo caminho de aproximação de (x,y) a (0,0) por pontos do domínio x\neq y? Se sim, determinar L; se não, concluir que o limite não existe.

Passo 2

Breve explicação do método usado (muito importante entender para a prova):
  • Em limites de funções de duas variáveis, uma forma prática de testar existência é verificar valores ao aproximar (0,0) por caminhos diferentes (por exemplo, retas y=kx). Se ao menos dois caminhos dão limites diferentes, o limite geral NÃO existe.
  • Formalmente, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L existe se para toda sequência (x_n,y_n) do domínio tal que (x_n,y_n)\to(0,0) tivermos f(x_n,y_n)\to L. Mostrar duas sequências que convergem para pontos diferentes é suficiente para provar que o limite não existe.
  • Vou aplicar o método dos caminhos retos y=kx (com k constante), que é o método mais simples e usual para detectar dependência de caminho.

Passo 3

Avaliar f ao longo das retas y=kx (para k constante diferente de 1, já que k=1 faz x-y=0 e a função não está definida nessa reta).
Substituindo y=kx em f:
f(x,kx)=\frac{x+kx}{x-kx}.
Fatorando x no numerador e denominador (e lembrando que estamos avaliando para x\neq0 ao aproximar a origem):
f(x,kx)=\frac{x(1+k)}{x(1-k)}=\frac{1+k}{1-k},
desde que 1-k\neq0 (ou seja, k\neq1). Note que o resultado não depende de x — é uma constante dependendo só de k.

Passo 4

Usar resultados concretos para mostrar dependência de caminho:
  • Para k=0 (reta y=0) obtemos
f(x,0)=\frac{1+0}{1-0}=1.
Então ao aproximar (0,0) pela reta y=0 (com x\to0), f(x,y)\to1.
  • Para k=-1 (reta y=-x) obtemos
f(x,-x)=\frac{1+(-1)}{1-(-1)}=\frac{0}{2}=0.
Então ao aproximar (0,0) pela reta y=-x (com x\to0), f(x,y)\to0.
  • Como obtivemos dois valores diferentes (1 e 0) ao aproximar pela reta y=0 e pela reta y=-x, isso mostra que o valor limite depende do caminho de aproximação.

Passo 5

Conclusão lógica:
  • Para existir \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) seria necessário que todas as aproximações (todos os caminhos) dessem o mesmo valor.
  • Como encontramos ao menos dois caminhos que dão limites diferentes (1 e 0), o limite não pode existir.
  • Observação adicional: a família geral y=kx (com k\neq1) dá o limite \dfrac{1+k}{1-k}, o que deixa explícito que há infinitos valores possíveis dependendo de k. Isso reforça que não existe um único limite.

Resposta

Não existe.

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