Determine os limites, caso existam.
Calcule os limites
Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite, quando
tende a
, da função
Informações dadas e observações iniciais:
- O ponto de interesse é
. - A função só está definida quando o denominador não é zero, ou seja, apenas em pontos com
. Isso significa que não podemos avaliar exatamente em pontos onde . - A pergunta é: existe um valor
tal que tende a para todo caminho de aproximação de a por pontos do domínio ? Se sim, determinar ; se não, concluir que o limite não existe.
Passo 2
Breve explicação do método usado (muito importante entender para a prova):
- Em limites de funções de duas variáveis, uma forma prática de testar existência é verificar valores ao aproximar
por caminhos diferentes (por exemplo, retas ). Se ao menos dois caminhos dão limites diferentes, o limite geral NÃO existe. - Formalmente, o limite
existe se para toda sequência do domínio tal que tivermos . Mostrar duas sequências que convergem para pontos diferentes é suficiente para provar que o limite não existe. - Vou aplicar o método dos caminhos retos
(com constante), que é o método mais simples e usual para detectar dependência de caminho.
Passo 3
Avaliar
ao longo das retas
(para
constante diferente de
, já que
faz
e a função não está definida nessa reta).
Substituindo em
:
Substituindo
Fatorando
no numerador e denominador (e lembrando que estamos avaliando para
ao aproximar a origem):
desde que
(ou seja,
). Note que o resultado não depende de
— é uma constante dependendo só de
.
Passo 4
Usar resultados concretos para mostrar dependência de caminho:
- Para
(reta ) obtemos
Então ao aproximar
pela reta
(com
),
.
- Para
(reta ) obtemos
Então ao aproximar
pela reta
(com
),
.
- Como obtivemos dois valores diferentes (1 e 0) ao aproximar pela reta
e pela reta , isso mostra que o valor limite depende do caminho de aproximação.
Passo 5
Conclusão lógica:
- Para existir
seria necessário que todas as aproximações (todos os caminhos) dessem o mesmo valor. - Como encontramos ao menos dois caminhos que dão limites diferentes (1 e 0), o limite não pode existir.
- Observação adicional: a família geral
(com ) dá o limite , o que deixa explícito que há infinitos valores possíveis dependendo de . Isso reforça que não existe um único limite.
Resposta
Não existe.