Determine os limites se existirem:

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
limxto+inftyl(1 + 12xr)^2x
Isso cai em “limites envolvendo exponenciais” e no conceito da constante . Para resolver direitinho, vamos usar:
  1. a propriedade ,
  2. a definição de via ,
  3. a expansão de séries (ou aproximação) de para pequeno.

Passo 2

Vamos escrever a expressão como uma exponencial usando logaritmo:
Definimos
L = limxtoinftyl(1+tfrac12xr)^2x
Então, tomando ln de ambos os lados (desde que o limite exista e seja positivo),
ln L ;=; limxtoinfty ln!l[l(1+tfrac12xr)^2xr] ;=; limxtoinfty 2x:ln!l(1+tfrac12xr)

Passo 3

Agora focamos no limite
limxtoinfty2x;ln!l(1+tfrac12xr)
Como ln(1+u)approx u-tfracu^22+dots para uto0 , podemos usar a expansão (ou aproximação) de primeiro ordem de ln!l(1+tfrac12xr) approx tfrac12x - tfrac12,l(tfrac12xr)^2 = tfrac12x - tfrac18x^2 :
2x;ln!l(1+tfrac12xr) approx 2xl(tfrac12x - tfrac18x^2r) =1 - tfrac14x
Aqui ln L = limxtoinfty2x,lnl(1+tfrac12xr)=1 , então
L = e^,ln L = e^1 = e
Multiplicando por :
Quando , .
Logo
Isso significa que

Resposta

boxede

Exercícios relacionados