Resolva as equações diferenciais a seguir.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=0

Passo 1

Então o exercício pede pra resolver a equação diferencial
y'' + 3y' + 2y = 0
Isso é uma EDO (equação diferencial ordinária) de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
  • A ideia de tentar uma solução .
  • Montar a “equação característica” associada.
  • Resolver essa equação para achar os valores de .
  • Combinar essas raízes pra montar a solução geral.

Passo 2

Teoria e montagem da equação característica
  1. A gente supõe uma solução do tipo
y(x) = e^r x
  1. Derivando:
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x
  1. Substitui lá na EDO original:
r^2 e^r x + 3l(r e^r xr) + 2 l(e^r xr) = 0
  1. Como r^2 + 3r + 2 = 0 nunca é zero, podemos dividir tudo por ele e sobra a chamada equação característica:

Passo 3

Resolver a equação característica
r^2 + 3r + 2 = 0
Esse polinômio é fácil de fatorar:
r^2 + 3r + 2 = (r + 1)(r + 2) = 0
Logo as raízes são
r1 = -1 e r2 = -2

Passo 4

Montar a solução geral
Como as raízes são reais e distintas ( y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^-x + C2 e^-2x, e ), a solução geral da EDO é a combinação linear dos dois exponenciais:
onde e são constantes que vão depender das condições iniciais (se tiverem).

Resposta

boxedy(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

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