Resolva as equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Então o exercício pede pra resolver a equação diferencial
Isso é uma EDO (equação diferencial ordinária) de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A ideia de tentar uma solução
. - Montar a “equação característica” associada.
- Resolver essa equação para achar os valores de
. - Combinar essas raízes pra montar a solução geral.
Passo 2
Teoria e montagem da equação característica
- A gente supõe uma solução do tipo
- Derivando:
- Substitui lá na EDO original:
- Como
nunca é zero, podemos dividir tudo por ele e sobra a chamada equação característica:
Passo 3
Resolver a equação característica
Esse polinômio é fácil de fatorar:
Logo as raízes são
Passo 4
Montar a solução geral
Como as raízes são reais e distintas ( e
), a solução geral da EDO é a combinação linear dos dois exponenciais:
Como as raízes são reais e distintas (
onde
e
são constantes que vão depender das condições iniciais (se tiverem).