Determine os limites se existirem:

Passo 1

Beleza, vamos ao que interessa. O enunciado pede:
Determinar
limxto+inftyl(x+1x-1r)^x
Isso é um problema de limite envolvendo uma forma tipo “algo elevado a outra coisa que vai a infinito”. O conteúdo é limites com indeterminação do tipo a(x)^b(x) = e^,b(x)ln a(x) , e a ideia principal que vamos usar é reescrever essa potência como exponencial:
Precisa também usar propriedades de log e a aproximação de para pequeno.

Passo 2

Primeiro passo de verdade na resolução: escrevemos
l(tfracx+1x-1r)^x = expl[xcdotlnl(tfracx+1x-1r)r]
Ou seja, nosso limite vira
limxtoinftyexpl[xlnl(tfracx+1x-1r)r] = expl(limxtoinftyx,lnl(tfracx+1x-1r)r),
desde que o limite do expoente exista.

Passo 3

Agora vamos focar no expoente
L = limxtoinfty xln!l(tfracx+1x-1r)
Usamos a propriedade de log:
ln!l(tfracx+1x-1r) = ln(x+1)-ln(x-1) = ln!l((x-1)+2x-1r) = ln!l(1+2x-1r)
Então
L = limxtoinfty x;ln!l(1+tfrac2x-1r)

Passo 4

Quando ln!l(1+tfrac2x-1r) approx 2x-1 - 12l(2x-1r)^2 é pequeno, a série de Taylor diz que xln!l(1+tfrac2x-1r) approx xcdot2x-1 ;-; xcdot2^22,(x-1)^2 . Aqui xx-1to1, x(x-1)^2to0 , que fica pequenino quando L = limxtoinfty xln!l(1+tfrac2x-1r) = 2 . Portanto
Multiplicando por :
Agora, para :
Então o primeiro termo vai para e o segundo some. Logo

Resposta

boxede^2

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