(2,0) Determine os limites:
lim x a^+ x^2-a^2|x^2-2 a x+a^2|, a<0.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto a^+x^2-a^2lvert x^2-2ax+a^2rvert
considerando a<0. O conteúdo aqui é limite lateral com valor absoluto. Vamos usar fatoração e a propriedade lvert t^2rvert = t^2.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
,x^2-a^2=(x-a)(x+a) e
,x^2-2ax+a^2=(x-a)^2, logo
lvert x^2-2ax+a^2rvert=lvert(x-a)^2rvert=(x-a)^2.
Portanto, para xneq a,
x^2-a^2lvert x^2-2ax+a^2rvert =(x-a)(x+a)(x-a)^2 =x+ax-a

Passo 3

Analisamos agora
x+ax-a
quando xto a^+. O numerador tende a
,a+a=2a
e o denominador tende a
0^+
pois x-a>0 à direita de a.

Passo 4

Como a<0, temos 2a<0. Logo
2a0^+=-infty.
Assim o limite procurado é

Resposta

-infty

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