Exercício 10. Resolva o problema de transmissão do calor de um cilindro circular infinito
Passo 1
O enunciado pede a solução de
com condição de contorno
e condição inicial
.
O conteúdo é separação de variáveis e teoria de autovalores de Bessel de ordem zero para problemas radiais.
O conteúdo é separação de variáveis e teoria de autovalores de Bessel de ordem zero para problemas radiais.
Passo 2
Suponha solução do tipo
Substituindo na PDE e dividindo por
dá
onde
é constante de separação. Assim
Passo 3
A equação em
é a equação de Bessel de ordem zero. A solução regular em
é
A condição de contorno
implica
Denote por
o
-ésimo zero positivo de
. Então
Passo 4
Pela linearidade, a solução geral é soma das soluções separadas:
Para satisfazer
, expandimos
Usamos a ortogonalidade de
:
Multiplicando a expansão de
por
e integrando de 0 a 1, obtemos
Passo 5
Substituindo os coeficientes
na série de
, concluímos que a solução do problema é
Resposta
onde
é o
-ésimo zero de
.