Exercício 10. Resolva o problema de transmissão do calor de um cilindro circular infinito
& ut=ur r+1r ur, r<1, t>0 & u(1, t)=0 para t>0 & u(r, 0)=f(r) para r<1

Passo 1

O enunciado pede a solução de
ut=ur r+1rur, 0<= r<1,;t>0,
com condição de contorno u(1,t)=0 e condição inicial u(r,0)=f(r).
O conteúdo é separação de variáveis e teoria de autovalores de Bessel de ordem zero para problemas radiais.

Passo 2

Suponha solução do tipo
u(r,t)=R(r),T(t)
Substituindo na PDE e dividindo por R,T
T'T=R''+tfrac1rR'R=-lambda,
onde lambda é constante de separação. Assim
T'(t) + lambda T(t)=0 e R''(r)+1rR'(r)+lambda R(r)=0

Passo 3

A equação em R é a equação de Bessel de ordem zero. A solução regular em r=0 é
R(r)=J0(raizlambda,r)
A condição de contorno u(1,t)=0 implica
R(1)=J0(raizlambda,)=0
Denote por alphan o n-ésimo zero positivo de J0. Então
raizlambdan=alphan, lambdan=alphan^2, Tn(t)=e^-alphan^2t, Rn(r)=J0(alphanr)

Passo 4

Pela linearidade, a solução geral é soma das soluções separadas:
u(r,t)=sumn=1^inftyAn,J0(alphanr),e^-alphan^2t
Para satisfazer u(r,0)=f(r), expandimos
f(r)=sumn=1^inftyAn,J0(alphanr)
Usamos a ortogonalidade de J0:
integral0^1r,J0(alphanr),J0(alphamr),dr=0 (mneq n),
integral0^1r,J0(alphanr)^2,dr =12,J1(alphan)^2
Multiplicando a expansão de f por r,J0(alphanr) e integrando de 0 a 1, obtemos
An =2J1(alphan)^2 integral0^1r,f(r),J0(alphanr),dr

Passo 5

Substituindo os coeficientes An na série de u(r,t), concluímos que a solução do problema é
u(r,t) =sumn=1^infty 2J1(alphan)^2 gl(integral0^1r,f(r),J0(alphanr),drgr) J0(alphanr),e^-alphan^2t

Resposta

u(r,t) =sumn=1^infty 2J1(alphan)^2 (integral0^1r,f(r),J0(alphanr),dr) J0(alphanr),e^-alphan^2t,
onde alphan é o n-ésimo zero de J0.

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