Determine os limites a seguir, caso existam.
(vii) \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a 0 da função \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right). Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é \;f(x)=\sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
  • A raiz quadrada \sqrt{x} está definida no conjunto dos reais apenas para x\ge 0. Portanto, a expressão só faz sentido para x\ge 0. Logo, o único limite que podemos avaliar no contexto dos reais é o limite à direita, isto é, quando x\to 0^+.
  • Sabemos propriedades básicas da função seno: para todo número real t vale -1\le \operatorname{sen}(t)\le 1.
    A pergunta é, portanto: qual é \lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)? (Se existir, dar o valor.)

Passo 2

Usamos a desigualdade de que o seno é limitado entre -1 e 1:
-1 \le \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Como aqui estamos considerando x\ge 0, temos \sqrt{x}\ge 0. Multiplicando a desigualdade inteira por \sqrt{x} (não invertemos os sinais porque multiplicamos por um número não negativo), obtemos
-\sqrt{x} \le \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) \le \sqrt{x}.

Passo 3

Apresento o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze): se para x próximo de a vale
g(x) \le f(x) \le h(x)
e \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \lim_{x\to a} f(x)=L.
Aqui temos exatamente essa situação com g(x)=-\sqrt{x}, f(x)=\sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) e h(x)=\sqrt{x}.

Passo 4

Calculamos os limites das funções de contorno quando x\to 0^+:
  • Para \sqrt{x}: como \sqrt{\cdot} é contínua em 0 e \sqrt{0}=0, temos
\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} = 0.
Uma demonstração simples por epsilon-delta: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon^2. Se 0\le x<\delta então \sqrt{x}<\varepsilon, logo a definição de limite é satisfeita.
  • Para -\sqrt{x} segue que
\lim_{x\to 0^+} -\sqrt{x} = 0,
pois é apenas o negativo da função que tende a 0.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como -\sqrt{x} \le \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) \le \sqrt{x} e ambos os limites das funções de contorno quando x\to 0^+ valem 0, concluímos que
\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
Comentário intuitivo: apesar de \operatorname{sen}(1/x) oscilar muito quando x\to 0, essas oscilações ficam multiplicadas por \sqrt{x}, que tende a zero rápido o suficiente para anular a oscilação — o produto vai para zero.

Passo 6

Observação final sobre existência do limite no sentido bilateral: a expressão \sqrt{x} não está definida para x<0 nos reais, então o limite bilateral \lim_{x\to 0} (pela esquerda e pela direita) não faz sentido diretamente. O que estabelecemos é o limite pela direita \lim_{x\to 0^+}, que existe e vale 0. Se o enunciado exigisse o limite bilateral, diríamos que não existe na forma bilateral porque a função não está definida à esquerda de 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados