Determine os limites a seguir, caso existam.
(vii)
(vii)
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função
. Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - A raiz quadrada
está definida no conjunto dos reais apenas para . Portanto, a expressão só faz sentido para . Logo, o único limite que podemos avaliar no contexto dos reais é o limite à direita, isto é, quando . - Sabemos propriedades básicas da função seno: para todo número real
vale .
A pergunta é, portanto: qual é? (Se existir, dar o valor.)
Passo 2
Usamos a desigualdade de que o seno é limitado entre
e
:
Como aqui estamos considerando
, temos
. Multiplicando a desigualdade inteira por
(não invertemos os sinais porque multiplicamos por um número não negativo), obtemos
Passo 3
Apresento o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze): se para
próximo de
vale
e
, então
.
Aqui temos exatamente essa situação com ,
e
.
Aqui temos exatamente essa situação com
Passo 4
Calculamos os limites das funções de contorno quando
:
- Para
: como é contínua em e , temos
Uma demonstração simples por epsilon-delta: dado
, escolha
. Se
então
, logo a definição de limite é satisfeita.
- Para
segue que
pois é apenas o negativo da função que tende a
.
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto, como
e ambos os limites das funções de contorno quando
valem
, concluímos que
Comentário intuitivo: apesar de
oscilar muito quando
, essas oscilações ficam multiplicadas por
, que tende a zero rápido o suficiente para anular a oscilação — o produto vai para zero.
Passo 6
Observação final sobre existência do limite no sentido bilateral: a expressão
não está definida para
nos reais, então o limite bilateral
(pela esquerda e pela direita) não faz sentido diretamente. O que estabelecemos é o limite pela direita
, que existe e vale
. Se o enunciado exigisse o limite bilateral, diríamos que não existe na forma bilateral porque a função não está definida à esquerda de
.