Seja f(x, y)=x^{2}+2 x y.
a) Encontre as curvas de nível c da função f, para c=0 e c \neq 0.
b) Encontre a intersecção da superfície definida por f com o plano y=m x, m \in R.
c) Faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+2xy e pede três coisas:
  1. (a) Encontrar as curvas de nível \,c da função f para \,c=0 e para \,c\neq0.
  2. (b) Encontrar a interseção da superfície z=f(x,y) com o plano definido por \,y=mx, onde m\in\mathbb{R}.
  3. (c) Fazer um esboço (descrever a forma) do gráfico da superfície z=f(x,y).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f e o parâmetro m para o plano. A resolução a seguir vai trabalhar diretamente com essas expressões e não exige informação adicional.

Passo 2

Entendendo o que é uma curva de nível: uma curva de nível para um valor \,c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c.
Isto significa que, para cada \,c fixo, devemos resolver a equação
x^{2}+2xy=c
no plano (x,y). Vou agora manipular essa equação para classificá-la e obter uma forma mais simples.

Passo 3

Trabalhando a equação das curvas de nível: comece escrevendo
x^{2}+2xy=c.
Uma fatoração óbvia aparece quando c=0. Para c=0 temos
x^{2}+2xy=0 \quad\Longrightarrow\quad x(x+2y)=0.
Isto significa que o conjunto de pontos que satisfazem com c=0 é a união de duas retas: x=0 e x+2y=0. Escrevendo a segunda em termos de y,
x+2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-\tfrac{x}{2}.

Passo 4

Interpretação didática do passo anterior: quando uma equação de nível se fatoriza em fatores lineares (aqui x e x+2y) e iguala a zero, isso significa que a curva de nível é a união das retas correspondentes. Portanto:
  • Para \,c=0: curvas de nível = retas \,x=0 e \,y=-\tfrac{x}{2}.

Passo 5

Agora trate o caso \,c\neq0. Uma técnica útil é completar quadrado ou fazer uma mudança de variáveis linear para identificar o tipo da curva. Observe que
x^{2}+2xy = (x+y)^{2}-y^{2}.
Esta identidade sai de expandir (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2} e subtrair y^{2}. Assim a equação da curva de nível \,x^{2}+2xy=c fica
(x+y)^{2}-y^{2}=c.

Passo 6

Introduzindo variáveis auxiliares para enxergar a forma padrão: defina \,u=x+y e \,v=y. Em termos de (u,v) a equação torna-se
u^{2}-v^{2}=c.
Isto é a forma padrão de uma hipérbole (quando c\neq0). Portanto, para \,c\neq0 as curvas de nível são hipérboles no plano (u,v); voltando às coordenadas (x,y) são hipérboles obtidas por essa transformação linear.

Passo 7

Classificação mais detalhada segundo o sinal de \,c:
  • Se \,c>0, a equação u^{2}-v^{2}=c tem hipérboles com ramos ao longo das direções onde |u|>|v|. Em coordenadas originais, isso significa ramos abertos ao longo da direção aproximada de x+y.
  • Se \,c<0, escrevendo v^{2}-u^{2}=-c>0 vemos hipérboles com ramos trocados (abertos mais na direção de v, ou seja, aproximadamente na direção de y).
    Em todas essas situações as curvas são hipérboles (duas componentes), enquanto c=0 deu duas retas que se cruzam no ponto (0,0).

Passo 8

Se quiser uma expressão explícita de y em função de x (útil em provas), trate a equação original como quadrática em y:
x^{2}+2xy-c=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x\,y = c - x^{2}.
Para x\neq0,
y = \frac{c-x^{2}}{2x}.
Isto mostra que, para cada c\neq0, existem duas curvas (correspondendo aos sinais ao atravessar x=0) que de fato representam as duas folhas da hipérbole. Para x=0 a equação original dá 0=c, logo se c\neq0 não há ponto com x=0.

Passo 9

Parte (b): interseção com o plano \,y=mx. Substitua y=mx em f:
f(x,mx)=x^{2}+2x(mx)=x^{2}+2m x^{2}=(1+2m)\,x^{2}.
Portanto a curva de interseção entre a superfície z=f(x,y) e o plano y=mx é o conjunto de pontos paramétricos (usando t como parâmetro para x)
(x,y,z)=(t,\;mt,\;(1+2m)t^{2}),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto é uma parábola no próprio plano y=mx, com coeficiente (1+2m).

Passo 10

Interpretação dos casos para (b):
  • Se 1+2m>0 (isto é m>-\tfrac12), a parábola é voltada para cima (no eixo z positivo) quando se anda ao longo do eixo x.
  • Se 1+2m<0 (isto é m<-\tfrac12), a parábola é voltada para baixo.
  • Se 1+2m=0 (isto é m=-\tfrac12), então f(x,mx)=0 para todo x. Logo a interseção é a linha reta no plano z=0 descrita por y=-\tfrac{x}{2}: todos esses pontos têm z=0. Observe que essa reta é precisamente uma das retas encontradas na curva de nível c=0.

Passo 11

Parte (c): esboço/descrição do gráfico. Vou construir a intuição por cortes e pela forma matricial:
  • Observe que f(x,y)=(x+y)^{2}-y^{2}. Em variáveis adequadas a superfície tem a forma
z = u^{2}-v^{2},
que é um paraboloide hiperbólico (também chamado de sela ou “saddle surface”). Isso significa que em algumas direções a superfície sobe (como um “vale” / parábola para cima) e em outras ela desce (como uma parábola para baixo).
  • Cortes simples para visualizar:
    • Corte por y=0: z=f(x,0)=x^{2}. É uma parábola para cima.
    • Corte por y=-x: z=f(x,-x)=x^{2}+2x(-x)= -x^{2}. É uma parábola para baixo.
    • Corte por x=0: z=0. É a reta horizontal z=0.
    • Corte por y=mx: já vimos que dá uma parábola z=(1+2m)x^{2}; dependendo de m ela abre para cima, para baixo ou é degenerada (reta em z=0 quando m=-\tfrac12).
  • Geometricamente: no ponto (0,0,0) a superfície tem comportamento de sela — em direção da reta y=0 sobe (parábola positiva), em direção da reta y=-x desce (parábola negativa). As curvas de nível no plano z=\text{const} são hipérboles (ou duas retas para c=0), como vimos.

Passo 12

Dicas para desenhar rápido na prova (passo a passo prático):
  1. Marque as duas retas de nível c=0: x=0 e y=-\tfrac{x}{2}. São as direções onde a superfície cruza z=0.
  2. Trace o corte y=0 para cima como z=x^{2} (parábola ascendente) e o corte y=-x para baixo como z=-x^{2} (parábola descendente). Essas duas parábolas mostram a sela.
  3. Esboce curvas de nível: para c>0 desenhe hipérboles abertas aproximadamente paralelas à direção x+y; para c<0 as hipérboles abrirão na direção de y.
  4. Combine tudo para obter o aspecto típico de sela (subida em uma direção, descida na perpendicular).

Resposta

(a) Para c=0: x(x+2y)=0, ou seja, as retas x=0 e y=-\tfrac{x}{2}.\n(a) Para c\neq0: curvas dadas por (x+y)^{2}-y^{2}=c, que são hipérboles (duas folhas); em variáveis u=x+y, v=y têm a forma u^{2}-v^{2}=c.\n(b) Interseção com y=mx: curva paramétrica (t,mt,(1+2m)t^{2}), ou seja z=(1+2m)x^{2}. Para m\neq-\tfrac12 isso é uma parábola; para m=-\tfrac12 é a reta y=-\tfrac{x}{2} com z=0.\n(c) O gráfico é um paraboloide hiperbólico (sela). Cortes típicos: y=0 z=x^{2} (parábola para cima), y=-x z=-x^{2} (parábola para baixo); curvas de nível são hipérboles (ou duas retas para c=0).

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