Seja
.
a) Encontre as curvas de nível c da função f, para
e
.
b) Encontre a intersecção da superfície definida por
com o plano
.
c) Faça um esboço do gráfico de f.
a) Encontre as curvas de nível c da função f, para
b) Encontre a intersecção da superfície definida por
c) Faça um esboço do gráfico de f.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Encontrar as curvas de nível
da função para e para . - (b) Encontrar a interseção da superfície
com o plano definido por , onde . - (c) Fazer um esboço (descrever a forma) do gráfico da superfície
.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
e o parâmetro
para o plano. A resolução a seguir vai trabalhar diretamente com essas expressões e não exige informação adicional.
Passo 2
Entendendo o que é uma curva de nível: uma curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
tais que
Isto significa que, para cada
fixo, devemos resolver a equação
no plano
. Vou agora manipular essa equação para classificá-la e obter uma forma mais simples.
Passo 3
Trabalhando a equação das curvas de nível: comece escrevendo
Uma fatoração óbvia aparece quando
. Para
temos
Isto significa que o conjunto de pontos que satisfazem com
é a união de duas retas:
e
. Escrevendo a segunda em termos de
,
Passo 4
Interpretação didática do passo anterior: quando uma equação de nível se fatoriza em fatores lineares (aqui
e
) e iguala a zero, isso significa que a curva de nível é a união das retas correspondentes. Portanto:
- Para
: curvas de nível = retas e .
Passo 5
Agora trate o caso
. Uma técnica útil é completar quadrado ou fazer uma mudança de variáveis linear para identificar o tipo da curva. Observe que
Esta identidade sai de expandir
e subtrair
. Assim a equação da curva de nível
fica
Passo 6
Introduzindo variáveis auxiliares para enxergar a forma padrão: defina
e
. Em termos de
a equação torna-se
Isto é a forma padrão de uma hipérbole (quando
). Portanto, para
as curvas de nível são hipérboles no plano
; voltando às coordenadas
são hipérboles obtidas por essa transformação linear.
Passo 7
Classificação mais detalhada segundo o sinal de
:
- Se
, a equação tem hipérboles com ramos ao longo das direções onde . Em coordenadas originais, isso significa ramos abertos ao longo da direção aproximada de . - Se
, escrevendo vemos hipérboles com ramos trocados (abertos mais na direção de , ou seja, aproximadamente na direção de ).
Em todas essas situações as curvas são hipérboles (duas componentes), enquantodeu duas retas que se cruzam no ponto .
Passo 8
Se quiser uma expressão explícita de
em função de
(útil em provas), trate a equação original como quadrática em
:
Para
,
Isto mostra que, para cada
, existem duas curvas (correspondendo aos sinais ao atravessar
) que de fato representam as duas folhas da hipérbole. Para
a equação original dá
, logo se
não há ponto com
.
Passo 9
Parte (b): interseção com o plano
. Substitua
em
:
Portanto a curva de interseção entre a superfície
e o plano
é o conjunto de pontos paramétricos (usando
como parâmetro para
)
Isto é uma parábola no próprio plano
, com coeficiente
.
Passo 10
Interpretação dos casos para (b):
- Se
(isto é ), a parábola é voltada para cima (no eixo positivo) quando se anda ao longo do eixo . - Se
(isto é ), a parábola é voltada para baixo. - Se
(isto é ), então para todo . Logo a interseção é a linha reta no plano descrita por : todos esses pontos têm . Observe que essa reta é precisamente uma das retas encontradas na curva de nível .
Passo 11
Parte (c): esboço/descrição do gráfico. Vou construir a intuição por cortes e pela forma matricial:
- Observe que
. Em variáveis adequadas a superfície tem a forma
que é um paraboloide hiperbólico (também chamado de sela ou “saddle surface”). Isso significa que em algumas direções a superfície sobe (como um “vale” / parábola para cima) e em outras ela desce (como uma parábola para baixo).
- Cortes simples para visualizar:
- Corte por
: . É uma parábola para cima. - Corte por
: . É uma parábola para baixo. - Corte por
: . É a reta horizontal . - Corte por
: já vimos que dá uma parábola ; dependendo de ela abre para cima, para baixo ou é degenerada (reta em quando ).
- Corte por
- Geometricamente: no ponto
a superfície tem comportamento de sela — em direção da reta sobe (parábola positiva), em direção da reta desce (parábola negativa). As curvas de nível no plano são hipérboles (ou duas retas para ), como vimos.
Passo 12
Dicas para desenhar rápido na prova (passo a passo prático):
- Marque as duas retas de nível
: e . São as direções onde a superfície cruza . - Trace o corte
para cima como (parábola ascendente) e o corte para baixo como (parábola descendente). Essas duas parábolas mostram a sela. - Esboce curvas de nível: para
desenhe hipérboles abertas aproximadamente paralelas à direção ; para as hipérboles abrirão na direção de . - Combine tudo para obter o aspecto típico de sela (subida em uma direção, descida na perpendicular).
Resposta
(a) Para
:
, ou seja, as retas
e
.\n(a) Para
: curvas dadas por
, que são hipérboles (duas folhas); em variáveis
,
têm a forma
.\n(b) Interseção com
: curva paramétrica
, ou seja
. Para
isso é uma parábola; para
é a reta
com
.\n(c) O gráfico é um paraboloide hiperbólico (sela). Cortes típicos:
dá
(parábola para cima),
dá
(parábola para baixo); curvas de nível são hipérboles (ou duas retas para
).