Determine os limites a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 1}} \frac{y \sin (x)}{x y+2 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite de (x,y) tendendo a (0,1) da função
f(x,y)=\frac{y\sin(x)}{x\,y+2x}.
Este é um limite de função de duas variáveis. Para resolvê-lo, vamos simplificar a expressão fatorando o denominador e usar o fato de que
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1.

Passo 2

Fatorando x no denominador, escrevemos
\frac{y\sin(x)}{x\,y+2x} =\frac{y\sin(x)}{x\,(y+2)}
e, em seguida, separamos os fatores:
\frac{y\sin(x)}{x\,(y+2)} =\frac{y}{y+2}\cdot\frac{\sin(x)}{x}.

Passo 3

Como (x,y)\to(0,1), temos
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{y\to1}\frac{y}{y+2}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}.
Portanto, pelo produto de limites,
\lim_{\substack{x\to0\y\to1}}f(x,y) =\frac{1}{3}\times1 =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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