Determine os limites a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow 4 \\\ y \rightarrow 2}} \frac{x^{2} \sqrt{y}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^{2}\sqrt{y}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(4,2). O conteúdo aqui é limite em duas variáveis e iremos usar o fato de que, se a função for contínua no ponto (e o denominador não for zero), então o limite é simplesmente o valor da função naquele ponto.

Passo 2

Verificamos o domínio de f: é necessário ter y\ge0 (para \sqrt{y} existir) e x^{2}+y^{2}\neq0. No ponto (4,2) temos y=2\ge0 e
4^{2}+2^{2}=16+4=20\neq0,
então (4,2) está no domínio e o denominador não anula ali.

Passo 3

As funções elementares x\mapsto x^{2}, y\mapsto\sqrt{y} e a soma x^{2}+y^{2} são contínuas no entorno de (4,2). Como o denominador em (4,2) é diferente de zero, o quociente também é contínuo nesse ponto. Logo,
\lim_{(x,y)\to(4,2)}f(x,y)=f(4,2).

Passo 4

Calculamos f(4,2) substituindo diretamente:
f(4,2) =\frac{4^{2}\sqrt{2}}{4^{2}+2^{2}} =\frac{16\sqrt{2}}{16+4} =\frac{16\sqrt{2}}{20} =\frac{4\sqrt{2}}{5}.

Resposta

\lim_{\substack{x \to 4 \\\ y \to 2}} \frac{x^{2}\sqrt{y}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{4\sqrt{2}}{5}.

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