Determine o maior conjunto de pontos em que a função é diferenciável. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar onde a função
é diferenciável. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis: vamos usar que quociente de funções suaves é suave onde o denominador não zera e, no ponto (0,0), verificar a definição direta de diferenciabilidade.
Passo 2
Para a função é um quociente de polinômios com denominador . Como polinômios são infinitamente diferenciáveis e o denominador nunca se anula fora da origem, concluímos que é diferenciável em todo ponto .
Passo 3
No ponto , primeiro achamos as derivadas parciais:
Colocando surge
logo . De modo análogo, para
logo . O candidato ao diferencial em (0,0) é, portanto, a forma linear nula.
Passo 4
Ainda na origem precisamos ver se
é . Note que
Como |k|<= r e h^2+k^2=r^2, vem
|f(h,k)|<=|h|,r^3r^2=|h|,r<= r^2,
onde r=raizh^2+k^2. Assim
|f(h,k)|r<= rto0quando (h,k)to(0,0)
Isso mostra que o erro é realmente o(r), então f é diferenciável em (0,0).