Determine o maior conjunto de pontos em que a função é diferenciável. Justifique.
f(x, y)=cl x y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar onde a função
f(x,y)= x,y^3x^2+y^2, & (x,y)neq(0,0) 0, & (x,y)=(0,0)
é diferenciável. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis: vamos usar que quociente de funções suaves é suave onde o denominador não zera e, no ponto (0,0), verificar a definição direta de diferenciabilidade.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) a função é um quociente de polinômios com denominador x^2+y^2neq0. Como polinômios são infinitamente diferenciáveis e o denominador nunca se anula fora da origem, concluímos que f é diferenciável em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), primeiro achamos as derivadas parciais:
Colocando y=0 surge
f(h,0)-f(0,0)h=0-0h=0,
logo fx(0,0)=0. De modo análogo, para x=0
f(0,h)-f(0,0)h=0-0h=0,
logo fy(0,0)=0. O candidato ao diferencial em (0,0) é, portanto, a forma linear nula.

Passo 4

Ainda na origem precisamos ver se
f(h,k)-l(fx(0,0)h+fy(0,0)kr)=f(h,k)
é o(raizh^2+k^2). Note que
|f(h,k)|=|h,k^3h^2+k^2|<=|h|,|k|^3h^2+k^2
Como |k|<= r e h^2+k^2=r^2, vem
|f(h,k)|<=|h|,r^3r^2=|h|,r<= r^2,
onde r=raizh^2+k^2. Assim
|f(h,k)|r<= rto0quando (h,k)to(0,0)
Isso mostra que o erro é realmente o(r), então f é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função é diferenciável em todo R^2.

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