Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
e^2 t y^prime prime+3 e^2 t y^prime+y=0
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Passo 1

A equação diferencial dada é e^2ty'' + 3e^2ty' + y = 0. O conteúdo aqui é a determinação do Wronskiano de duas soluções de uma EDO linear de segunda ordem. Para isso, vamos precisar colocar a equação na forma padrão y'' + P(t)y' + Q(t)y = 0 e usar a identidade de Abel.

Passo 2

Dividindo toda a equação por e^2t, obtemos a forma padrão: y'' + 3y' + e^-2ty = 0 Daí identificamos P(t) = 3 e Q(t) = e^-2t.

Passo 3

A identidade de Abel diz que o Wronskiano W(t) de duas soluções de y'' + P(t)y' + Q(t)y = 0 satisfaz W(t) = C ,e^-integral P(t),dt, onde C é constante determinada pelas condições iniciais.

Passo 4

Como P(t)=3, temos integral P(t),dt = integral 3,dt = 3t. Substituindo na expressão de Abel, chega-se a W(t) = C,e^-3t

Resposta

O Wronskiano de duas soluções é dado por W(t)=C,e^-3t, ou seja, é proporcional a e^-3t.

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