Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é o maior intervalo onde um problema de valor inicial tem uma solução única que seja duas vezes diferenciável. A matéria aqui é equações diferenciais, especificamente o teorema de existência e unicidade. Para resolver, vamos precisar analisar os coeficientes da equação diferencial e ver onde eles são contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação diferencial que temos:
Aqui, o coeficiente de é . Segundo o teorema de existência e unicidade para equações diferenciais de segunda ordem, a solução única existe e é diferenciável se os coeficientes da equação forem contínuos no intervalo considerado e o coeficiente de não for zero nesse intervalo.
Passo 3
Então, precisamos verificar onde não é zero, porque se esse termo for zero, a equação deixa de ser de segunda ordem, e o teorema não se aplica. Resolvendo , encontramos e . Esses são os pontos onde o coeficiente de é zero.
Passo 4
Agora, olhamos para o ponto inicial dado, que é . Esse valor está entre e . Portanto, para garantir que não seja zero, devemos considerar o intervalo que vai de até , mas sem incluir esses extremos, já que nesses pontos o coeficiente anula.
Passo 5
Conclusão: O maior intervalo onde a solução única duas vezes diferenciável existe é o intervalo onde está entre e .
Resposta
O maior intervalo onde o problema tem uma única solução duas vezes diferenciável é .