Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(f) 9y'' + 6y' + 82y = 0, y(0) = -1, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar usar o método das equações características para achar a solução geral e, depois, aplicar as condições dadas para encontrar os coeficientes específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo , e é a primeira derivada.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituímos por , por , e por 1:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas.

Passo 5

Vamos encontrar as raízes:
Então, as raízes são:

Passo 6

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Condição 1:
Substituindo :
Condição 2:
Primeiro, vamos achar a derivada :
Substituindo :
Sabendo que :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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