1. Determine o maior e o menor valor de x^{2}+y^{2} tal que x^{4}+y^{4}=1.
  2. Determine o valor máximo de f(x, y, z)=x+y+z tal que x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} e conclua que:
(x+y+z)^{2} \leq 3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) .

Passo 1

No item 4 queremos otimizar a função f(x,y)=x^2+y^2 sujeita à restrição g(x,y)=x^4+y^4-1=0. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que diz que nos pontos extremos deve valer
\nabla f = \lambda\,\nabla g.

Passo 2

Calculamos as derivadas
\nabla f = (2x,\;2y), \quad \nabla g = (4x^3,\;4y^3).
A condição \nabla f=\lambda\nabla g dá o sistema
2x = \lambda\,4x^3, \quad 2y = \lambda\,4y^3, \quad x^4+y^4=1.
Das duas primeiras equações vemos que, para cada variável, ou ela é zero ou
\lambda = \tfrac{2x}{4x^3} = \tfrac{1}{2x^2}, \quad \lambda = \tfrac{1}{2y^2}.

Passo 3

Analisamos os casos críticos:
  1. Se x=0, então da restrição y^4=1 e fica y^2=1, logo
f(0,y)=0^2+1=1.
Analogamente, se y=0 obtemos f=1.
2) Se x\neq0 e y\neq0, então \tfrac{1}{2x^2}=\tfrac{1}{2y^2} implica x^2=y^2. Daí
x^4+y^4=2x^4=1 \quad\Longrightarrow\quad x^4=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x^2=\tfrac{1}{\sqrt2},
e então
f(x,y)=x^2+y^2=2\cdot\tfrac{1}{\sqrt2}=\sqrt2.

Passo 4

Concluímos para o item 4 que os valores críticos de x^2+y^2 são 1 e \sqrt2. O menor valor é 1 (atingido quando um dos eixos vale zero) e o maior é \sqrt2 (quando |x|=|y|=(1/2)^{1/4}).

Passo 5

No item 5 queremos maximizar f(x,y,z)=x+y+z sob x^2+y^2+z^2=a^2. Em vez de Lagrange, usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
(x+y+z)^2 \le (1^2+1^2+1^2)\,(x^2+y^2+z^2) = 3\,a^2.
Daí
|x+y+z| \le a\sqrt3 \quad\Longrightarrow\quad x+y+z \le a\sqrt3
(se permitirmos ambos sinais, o máximo absoluto é a\sqrt3, e o máximo positivo é a\sqrt3). A igualdade acontece quando (x,y,z) é paralelo a (1,1,1), ou seja x=y=z=\tfrac{a}{\sqrt3}.

Resposta

  1. O menor valor de x^2+y^2 é 1 e o maior valor é \sqrt2.
  2. O valor máximo de x+y+z é a\sqrt3, e disso segue imediatamente
(x+y+z)^2 \le 3\,(x^2+y^2+z^2).

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