- Determine o maior e o menor valor de
tal que
.
- Determine o valor máximo de
tal que
e conclua que:
Passo 1
No item 4 queremos otimizar a função
sujeita à restrição
. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que diz que nos pontos extremos deve valer
Passo 2
Calculamos as derivadas
A condição
dá o sistema
Das duas primeiras equações vemos que, para cada variável, ou ela é zero ou
Passo 3
Analisamos os casos críticos:
- Se
, então da restrição e fica , logo
Analogamente, se
obtemos
.
2) Se e
, então
implica
. Daí
2) Se
e então
Passo 4
Concluímos para o item 4 que os valores críticos de
são
e
. O menor valor é
(atingido quando um dos eixos vale zero) e o maior é
(quando
).
Passo 5
No item 5 queremos maximizar
sob
. Em vez de Lagrange, usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
Daí
(se permitirmos ambos sinais, o máximo absoluto é
, e o máximo positivo é
). A igualdade acontece quando
é paralelo a
, ou seja
.
Resposta
- O menor valor de
é e o maior valor é . - O valor máximo de
é , e disso segue imediatamente