Determine o maior subconjunto de
para o qual as seguintes fun,
oes s ao cont
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir qual é o maior subconjunto dos números reais onde a função
é contínua. Vamos precisar entender sobre funções contínuas e verificar onde essa função não apresenta problemas, tipo descontinuidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel nesse ponto. Para todas as funções que a gente conhece bem, como polinômios, exponenciais e funções trigonométricas como a arctan, elas são contínuas em todo o seu domínio.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Aqui, temos uma composição de funções: a função exponencial
, a função identidade
(que simplesmente adiciona 1), e a função arco-tangente
. Sabemos que a exponencial é contínua em todo
, e a soma com 1 também não muda isso.
Passo 4
Agora, a função arco-tangente
é contínua para todo
real, ou seja, não tem pontos de descontinuidade. Como o argumento
também está definido e é contínuo para todo
, a composição dessas funções será contínua em todo
.
Passo 5
Então, não tem nenhum valor de
que a gente possa colocar na função onde ela “quebra” ou fica indefinida. Isso significa que a função
é contínua para todos os números reais.
Resposta
A função
é contínua em todo o conjunto dos números reais
. Portanto, o maior subconjunto de
onde
é contínua é
.