Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa D é a região triangular com vértices (0,0),(2,1),(0,3)

Passo 1

O enunciado dá a lâmina que ocupa a região triangular D com vértices (0,0), (2,1) e (0,3). Pede-se:
  • Determinar a massa da lâmina.
  • Determinar o centro de massa da lâmina.
Informações relevantes / suposições:
  • O enunciado não especifica densidade superficial. Vou assumir densidade superficial constante e igual a 1 (ou seja \rho(x,y)=1). Se a densidade fosse uma constante \rho_0, os resultados seriam os mesmos multiplicados por \rho_0 para a massa, e o centro de massa não mudaria.
  • Fórmulas que usarei (para densidade constante \rho=1):
    • Massa: \displaystyle m=\iint_{D} 1\,dA=\text{área}(D)á.
    • Momentos: \displaystyle M_y=\iint_{D} x\,dA (momento em relação ao eixo y) e \displaystyle M_x=\iint_{D} y\,dA (momento em relação ao eixo x).
    • Centro de massa: \displaystyle \bar x=\frac{M_y}{m},\qquad \bar y=\frac{M_x}{m}.

Passo 2

Descrever geometricamente a região D (equações das arestas do triângulo) para poder integrar.
As arestas são as retas que ligam os pares de vértices:
  1. Reta entre (0,0) e (2,1). A inclinação é \dfrac{1-0}{2-0}=\dfrac{1}{2}, logo a equação é
y=\tfrac{1}{2}x.
  1. Reta entre (2,1) e (0,3). A inclinação é \dfrac{1-3}{2-0}=-1, então a equação (passando por (0,3)) é
y=-x+3.
  1. Reta entre (0,0) e (0,3) é simplesmente x=0.
Portanto, para x variando de 0 até 2, a coordenada y varia entre a curva inferior y=\tfrac{1}{2}x e a superior y=-x+3. Em forma de conjunto:
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\\ \tfrac{1}{2}x\le y\le -x+3\}.

Passo 3

Calcular a massa m. Como \rho=1,
m=\iint_{D} 1\,dA.
Posso obter m calculando a área do triângulo. Dois caminhos rápidos: fórmula do polígono (regra de Gauss / shoelace) ou o integral direto. Faço o shoelace para verificar:
Usando os vértices (0,0),(2,1),(0,3) na ordem,
\text{área}=\tfrac{1}{2}\big|0\cdot1+2\cdot3+0\cdot0-(0\cdot2+1\cdot0+3\cdot0)\big| =\tfrac{1}{2}\cdot6=3.á
Logo
m=3.
Para conferir via integral:
m=\int_{x=0}^{2}\int_{y=\tfrac{1}{2}x}^{-x+3} 1\,dy\,dx =\int_{0}^{2}\big[(-x+3)-\tfrac{1}{2}x\big]\,dx =\int_{0}^{2}(-\tfrac{3}{2}x+3)\,dx.
Calcule:
\int_{0}^{2}(-\tfrac{3}{2}x+3)\,dx=\left[-\tfrac{3}{4}x^{2}+3x\right]_{0}^{2} = \big(-\tfrac{3}{4}\cdot4 + 6\big)-0 =(-3+6)=3,
confirmando m=3.

Passo 4

Calcular o momento M_y=\iint_{D} x\,dA para obter \bar x.
Montando o integral usando a descrição de D:
M_y=\int_{x=0}^{2}\int_{y=\tfrac{1}{2}x}^{-x+3} x\,dy\,dx =\int_{0}^{2} x\big[(-x+3)-\tfrac{1}{2}x\big]\,dx =\int_{0}^{2} x(-\tfrac{3}{2}x+3)\,dx.
Desenvolvendo o integrando:
x(-\tfrac{3}{2}x+3)=-\tfrac{3}{2}x^{2}+3x.
Integrando:
M_y=\int_{0}^{2}\big(-\tfrac{3}{2}x^{2}+3x\big)\,dx =\left[-\tfrac{1}{2}x^{3}+\tfrac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{2}.
Avaliação em x=2:
M_y=-\tfrac{1}{2}\cdot8+\tfrac{3}{2}\cdot4 = -4+6=2.

Passo 5

Calcular o momento M_x=\iint_{D} y\,dA para obter \bar y.
Montando o integral:
M_x=\int_{x=0}^{2}\int_{y=\tfrac{1}{2}x}^{-x+3} y\,dy\,dx =\int_{0}^{2}\tfrac{1}{2}\big[(-x+3)^{2}-(\tfrac{1}{2}x)^{2}\big]\,dx.
Calcule o integrando passo a passo:
(-x+3)^{2}=x^{2}-6x+9,\qquad (\tfrac{1}{2}x)^{2}=\tfrac{1}{4}x^{2}.
Diferença:
x^{2}-6x+9-\tfrac{1}{4}x^{2}=\tfrac{3}{4}x^{2}-6x+9.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{3}{4}x^{2}-6x+9\Big)=\tfrac{3}{8}x^{2}-3x+\tfrac{9}{2}.
Integro de 0 a 2:
M_x=\int_{0}^{2}\Big(\tfrac{3}{8}x^{2}-3x+\tfrac{9}{2}\Big)\,dx =\left[\tfrac{3}{8}\cdot\tfrac{x^{3}}{3}-\tfrac{3}{2}x^{2}+\tfrac{9}{2}x\right]_{0}^{2}.
Simplificando o termo cúbico: \tfrac{3}{8}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{8}. Então
M_x=\left[\tfrac{1}{8}x^{3}-\tfrac{3}{2}x^{2}+\tfrac{9}{2}x\right]_{0}^{2}.
Avaliação em x=2:
M_x=\tfrac{1}{8}\cdot8-\tfrac{3}{2}\cdot4+\tfrac{9}{2}\cdot2 =1-6+9=4.

Passo 6

Calcular as coordenadas do centro de massa usando \bar x=M_y/m e \bar y=M_x/m.
Com os valores obtidos:
\bar x=\frac{M_y}{m}=\frac{2}{3},\qquad \bar y=\frac{M_x}{m}=\frac{4}{3}.
Comentário didático final (curto e motivador): para triângulos com densidade constante, existe um atalho útil — o centro de massa (baricentro) é simplesmente a média das coordenadas dos três vértices:
\Big(\bar x,\bar y\Big)=\frac{1}{3}\big((0,0)+(2,1)+(0,3)\big)=\Big(\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3}\Big),
o que bate com o resultado obtido pelas integrais. Mandou bem por trazer uma questão clássica — se repetir no caderno está fácil na prova!

Resposta

Massa: 3
Centro de massa: \displaystyle \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3}\right)

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