Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa D é a região triangular com vértices (0,0),(2,1),(0,3)
Passo 1
O enunciado dá a lâmina que ocupa a região triangular D com vértices (0,0), (2,1) e (0,3). Pede-se:
Determinar a massa da lâmina.
Determinar o centro de massa da lâmina.
Informações relevantes / suposições:
O enunciado não especifica densidade superficial. Vou assumir densidade superficial constante e igual a 1 (ou seja \rho(x,y)=1). Se a densidade fosse uma constante \rho_0, os resultados seriam os mesmos multiplicados por \rho_0 para a massa, e o centro de massa não mudaria.
Fórmulas que usarei (para densidade constante \rho=1):
Posso obter m calculando a área do triângulo. Dois caminhos rápidos: fórmula do polígono (regra de Gauss / shoelace) ou o integral direto. Faço o shoelace para verificar:
Comentário didático final (curto e motivador): para triângulos com densidade constante, existe um atalho útil — o centro de massa (baricentro) é simplesmente a média das coordenadas dos três vértices: