Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa D é a região triangular com vértices (0,0),(1,0),(0,2)

Passo 1

O enunciado dá uma lâmina que ocupa a região triangular D com vértices (0,0), (1,0) e (0,2). Pede-se:
  • Determinar a massa da lâmina.
  • Determinar o centro de massa da lâmina (coordenadas \bar x e \bar y).
Informações e observações que o enunciado fornece (ou que preciso assumir para resolver):
  • A região D é o triângulo com os três vértices dados.
  • O enunciado não especifica densidade, ou seja, não diz \rho(x,y). Vou assumir a lâmina homogênea com densidade constante igual a 1 (unidade conveniente). Se a densidade fosse outra constante \rho_0, as coordenadas do centro de massa seriam as mesmas e a massa seria \rho_0 vezes o que eu calcular aqui.
  • O que preciso calcular explicitamente são:
    • a massa M=\iint_{D} \rho(x,y)\,dA;
    • as coordenadas do centro de massa \bar x=\frac{1}{M}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac{1}{M}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.

Passo 2

Relembrando as fórmulas e o que cada símbolo significa (mini-aula):
  • D é a região do plano ocupada pela lâmina.
  • \rho(x,y) é a densidade superficial em cada ponto; aqui \rho(x,y)=1.
  • A massa total da lâmina é dada por
M=\iint_{D} \rho(x,y)\,dA.
  • O momento em relação ao eixo y (usado para \bar x) é
M_y=\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA,
e o momento em relação ao eixo x (usado para \bar y) é
M_x=\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.
  • As coordenadas do centro de massa são
\bar x=\frac{M_y}{M},\qquad \bar y=\frac{M_x}{M}.
Explicação sucinta: M soma a massa de cada pedacinho dA; M_y e M_x somam as contribuições ponderadas por x e por y, e ao dividir por M obtemos a “média ponderada” das posições.

Passo 3

Descrever a região D para montar integrais.
  • A aresta oblíqua liga (1,0) a (0,2). A equação da reta que passa por esses pontos: a inclinação é \dfrac{2-0}{0-1}=-2. Usando ponto (1,0),
y-0=-2(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=2-2x.
  • Assim, D pode ser descrita como
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le 2-2x\}.
Escolhi integrar primeiro em y (de 0 até 2-2x) e depois em x (de 0 até 1), porque a expressão da reta está em forma y= função de x e isso torna as integrais simples.

Passo 4

Calcular a massa M (com \rho\equiv1).
M=\iint_{D} 1\,dA=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x} 1\,dy\,dx.
Executando a integral interna em y:
\int_{y=0}^{2-2x} 1\,dy = \bigl.y\bigr|_{0}^{2-2x} = 2-2x.
Agora integrar em x:
M=\int_{0}^{1} (2-2x)\,dx.
Calcule passo a passo:
\int_{0}^{1} 2\,dx = 2x\Big|_0^1 = 2, \qquad \int_{0}^{1} 2x\,dx = x^2\Big|_0^1 = 1.
Portanto
M = 2 - 1 = 1.
Comentário pedagógico: isso coincide com a área do triângulo, que pela fórmula \tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}=\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot2=1. Como a densidade é 1, massa = área.

Passo 5

Calcular \bar x. Primeiro o momento M_y=\iint_{D} x\,dA.
M_y=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x} x\,dy\,dx.
Resolver a integral interna (em y):
\int_{y=0}^{2-2x} x\,dy = x\cdot\bigl.y\bigr|_{0}^{2-2x} = x(2-2x).
Agora integrar em x:
M_y=\int_{0}^{1} x(2-2x)\,dx = \int_{0}^{1} (2x-2x^2)\,dx.
Calcule termo a termo:
\int_{0}^{1} 2x\,dx = x^2\Big|_0^1 = 1, \qquad \int_{0}^{1} 2x^2\,dx = \tfrac{2}{3}x^3\Big|_0^1 = \tfrac{2}{3}.
Portanto
M_y = 1 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3}.
Como M=1,
\bar x = \frac{M_y}{M} = \tfrac{1}{3}.

Passo 6

Calcular \bar y. Primeiro o momento M_x=\iint_{D} y\,dA.
M_x=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x} y\,dy\,dx.
Integral interna:
\int_{y=0}^{2-2x} y\,dy = \tfrac{1}{2}y^2\Big|_{0}^{2-2x} = \tfrac{1}{2}(2-2x)^2.
Simplificar (2-2x)^2 = 4(1-x)^2, logo
\tfrac{1}{2}(2-2x)^2 = 2(1-x)^2.
Agora integrar em x:
M_x = \int_{0}^{1} 2(1-x)^2\,dx = 2\int_{0}^{1} (1 - 2x + x^2)\,dx.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{1} 1\,dx = 1,\qquad \int_{0}^{1} 2x\,dx = 1,\qquad \int_{0}^{1} x^2\,dx = \tfrac{1}{3}.
Então
\int_{0}^{1} (1 - 2x + x^2)\,dx = 1 - 1 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{3}.
Multiplicando por 2:
M_x = 2\cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.
Como M=1,
\bar y = \frac{M_x}{M} = \tfrac{2}{3}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida (motivacional): para um triângulo com densidade constante, o centro de massa coincide com o centróide geométrico, que é o ponto médio das três coordenadas dos vértices: \bigl(\tfrac{0+1+0}{3},\tfrac{0+0+2}{3}\bigr)=(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}). Isso confirma o cálculo feito pelas integrais. Boa — deu tudo consistente!

Resposta

M=1
\displaystyle \left(\bar x,\bar y\right)=\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right)

Exercícios relacionados