Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa D é a região triangular com vértices (0,0),(1,0),(0,2)
Passo 1
O enunciado dá uma lâmina que ocupa a região triangular D com vértices (0,0), (1,0) e (0,2). Pede-se:
Determinar a massa da lâmina.
Determinar o centro de massa da lâmina (coordenadas \bar x e \bar y).
Informações e observações que o enunciado fornece (ou que preciso assumir para resolver):
A região D é o triângulo com os três vértices dados.
O enunciado não especifica densidade, ou seja, não diz \rho(x,y). Vou assumir a lâmina homogênea com densidade constante igual a 1 (unidade conveniente). Se a densidade fosse outra constante \rho_0, as coordenadas do centro de massa seriam as mesmas e a massa seria \rho_0 vezes o que eu calcular aqui.
O que preciso calcular explicitamente são:
a massa M=\iint_{D} \rho(x,y)\,dA;
as coordenadas do centro de massa\bar x=\frac{1}{M}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac{1}{M}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.
Passo 2
Relembrando as fórmulas e o que cada símbolo significa (mini-aula):
D é a região do plano ocupada pela lâmina.
\rho(x,y) é a densidade superficial em cada ponto; aqui \rho(x,y)=1.
A massa total da lâmina é dada por
M=\iint_{D} \rho(x,y)\,dA.
O momento em relação ao eixo y (usado para \bar x) é
M_y=\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA,
e o momento em relação ao eixo x (usado para \bar y) é
M_x=\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.
As coordenadas do centro de massa são
\bar x=\frac{M_y}{M},\qquad \bar y=\frac{M_x}{M}.
Explicação sucinta: M soma a massa de cada pedacinho dA; M_y e M_x somam as contribuições ponderadas por x e por y, e ao dividir por M obtemos a “média ponderada” das posições.
Passo 3
Descrever a região D para montar integrais.
A aresta oblíqua liga (1,0) a (0,2). A equação da reta que passa por esses pontos: a inclinação é \dfrac{2-0}{0-1}=-2. Usando ponto (1,0),
y-0=-2(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=2-2x.
Assim, D pode ser descrita como
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le 2-2x\}.
Escolhi integrar primeiro em y (de 0 até 2-2x) e depois em x (de 0 até 1), porque a expressão da reta está em forma y= função de x e isso torna as integrais simples.
Comentário pedagógico: isso coincide com a área do triângulo, que pela fórmula \tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}=\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot2=1. Como a densidade é 1, massa = área.
Passo 5
Calcular \bar x. Primeiro o momento M_y=\iint_{D} x\,dA.
Interpretação e checagem rápida (motivacional): para um triângulo com densidade constante, o centro de massa coincide com o centróide geométrico, que é o ponto médio das três coordenadas dos vértices: \bigl(\tfrac{0+1+0}{3},\tfrac{0+0+2}{3}\bigr)=(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}). Isso confirma o cálculo feito pelas integrais. Boa — deu tudo consistente!