Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho, quando:
Determine a massa de cada uma das seguintes lâminas:
D=(x, y) in R^2: 1 <= x^2+y^2 <= 4, y >= 0 e a densidade é proporcional à distância do ponto à origem.
Calcule o centro de massa da região.

Passo 1

O enunciado pede a massa M e o centro de massa (bar x,bar y) de uma lâmina ocupando a região
D=(x,y)inR^2:1<= x^2+y^2<=4,;y>=0
com densidade proporcional à distância à origem. O conteúdo é cálculo em coordenadas polares, usando rho(x,y)=kraizx^2+y^2.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos
e a densidade vira
O elemento de área é . A região corresponde a e .

Passo 3

A massa é
Calculemos as integrais:
Logo,

Passo 4

Pela simetria em , temos . Para , calculamos o momento em :
Temos
Assim,

Passo 5

O centro de massa em y é
bar y =MyM =tfrac15k2tfrac7kpi3 =152cdot37pi =4514pi

Resposta

Massa: M=7kpi3
Centro de massa: (bar x,bar y)=l(0,tfrac4514pir)

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