Determine se \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=\left(x^{2}+y\right) \mathbf{i}+x^{2} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = (x^2 + y)\,\mathbf{i} + x^2\,\mathbf{j}.
Queremos verificar se ele é conservativo em \mathbb{R}^2. Em domínio simplesmente conexo, um campo \mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j} é conservativo se, e só se,
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x^2+y, \quad Q(x,y)=x^2.
Calculamos as derivadas parciais mistas:
\frac{\partial P}{\partial y}=1, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x.

Passo 3

Comparando, temos
\frac{\partial P}{\partial y}=1 \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x,
que não coincidem em toda \mathbb{R}^2. Portanto a condição para ser conservativo falha.

Resposta

O campo \mathbf{F} não é conservativo, pois \partial P/\partial y \neq \partial Q/\partial x.

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