Derive.
(d) f(x)=\frac{\ln (x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = \frac{\ln(x)}{x^{2}},
que está definida para x>0. Vamos usar as regras de derivação de funções: a derivada de \ln(x) e a regra do produto (ou quociente).

Passo 2

Reescrevemos
f(x) = \ln(x)\cdot x^{-2}.
Definimos u(x)=\ln(x) e v(x)=x^{-2}. Então
u'(x)=\frac{1}{x}, \quad v'(x)=-2\,x^{-3}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo, fica
f'(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-2}+\ln(x)\cdot\bigl(-2\,x^{-3}\bigr).

Passo 4

Simplificamos cada termo:
\frac{1}{x}\cdot x^{-2}=x^{-3}, \quad \ln(x)\cdot(-2\,x^{-3})=-2\ln(x)\,x^{-3}.
Logo
f'(x)=x^{-3}-2\ln(x)\,x^{-3}=(1-2\ln(x))\,x^{-3}.

Resposta

f'(x)=\frac{1-2\ln(x)}{x^{3}}.

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