Determine se \mathbf{F} é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
6. \quad \mathbf{F}(x, y)=\left(3 x^{2}-2 y^{2}\right) \mathbf{i}+(4 x y+3) \mathbf{j}

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o campo vetorial \mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\,\mathbf{i} + Q(x,y)\,\mathbf{j}
com
P(x,y) = 3x^2 - 2y^2, \quad Q(x,y) = 4xy + 3.
O objetivo é verificar se \mathbf{F} é conservador (isto é, se existe f tal que \nabla f = \mathbf{F}). Em regiões simplesmente conexas de \mathbb{R}^2, uma condição necessária e suficiente é
\frac{\partial P}{\partial y} \;\stackrel{?}{=}\; \frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^2 - 2y^2\bigr) = -4y,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4xy + 3\bigr) = 4y.

Passo 3

Comparando, vemos que
\frac{\partial P}{\partial y} = -4y \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 4y,
e portanto \partial P/\partial y \neq \partial Q/\partial x para y\neq0. Logo, mesmo em \mathbb{R}^2 inteiro (que é simplesmente conexo), a condição de campo conservador falha.

Resposta

\mathbf{F} não é um campo vetorial conservador.

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