Exercício 18. Calcule a área da superfície
obtida pela revolução da curva
em torno do eixo
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície
obtida ao girar em torno do eixo
a curva
para
.
Este é um problema de área de superfície de revolução em torno do eixo vertical, onde usaremos a fórmula
Este é um problema de área de superfície de revolução em torno do eixo vertical, onde usaremos a fórmula
com
e o raio dado por
.
Passo 2
Calculamos a derivada da curva e o elemento de arco:
portanto
Passo 3
A fórmula da área para revolução em torno do eixo
é
Como o integrando é função par (o valor depende de
), podemos usar simetria:
Passo 4
Usando simetria em
,
Passo 5
Para calcular
, fazemos a substituição
Quando
,
; quando
,
. Assim,
Passo 6
Substituindo de volta em
: