Exercício 18. Calcule a área da superfície S obtida pela revolução da curva y=1-x^{2} em torno do eixo y no intervalo -1 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície S obtida ao girar em torno do eixo y a curva
y = 1 - x^2,
para -1 \le x \le 1.
Este é um problema de área de superfície de revolução em torno do eixo vertical, onde usaremos a fórmula
S = \int_{a}^{b} 2\pi\,(\text{raio})\;\mathrm{d}s
com \mathrm{d}s = \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx e o raio dado por |x|.

Passo 2

Calculamos a derivada da curva e o elemento de arco:
y'(x) = \frac{d}{dx}\,(1 - x^2) = -2x,
portanto
\mathrm{d}s = \sqrt{1 + \bigl(-2x\bigr)^2}\,dx = \sqrt{1 + 4x^2}\,dx.

Passo 3

A fórmula da área para revolução em torno do eixo y é
S = \int_{-1}^{1} 2\pi\,|x|\;\sqrt{1 + 4x^2}\;dx.
Como o integrando é função par (o valor depende de |x|), podemos usar simetria:

Passo 4

Usando simetria em x,
S = 2 \int_{0}^{1} 2\pi\,x\,\sqrt{1 + 4x^2}\;dx = 4\pi \int_{0}^{1} x\,\sqrt{1 + 4x^2}\;dx.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{1 + 4x^2}\,dx, fazemos a substituição
u = 1 + 4x^2 \quad\Longrightarrow\quad du = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{8}.
Quando x=0, u=1; quando x=1, u=5. Assim,
\int_{0}^{1} x\sqrt{1 + 4x^2}\,dx = \int_{u=1}^{5} \sqrt{u}\;\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du = \frac{1}{8}\,\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{1}^{5} = \frac{1}{12}\bigl(5^{3/2}-1\bigr).

Passo 6

Substituindo de volta em S:
S = 4\pi \times \frac{1}{12}\bigl(5^{3/2}-1\bigr) = \frac{\pi}{3}\bigl(5\sqrt{5} - 1\bigr).

Resposta

S = \frac{\pi}{3}\,\bigl(5\sqrt{5} - 1\bigr).

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