Determine se \mathbf{F} é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
8. \mathbf{F}(x, y)=\left(2 x y+y^{-2}\right) \mathbf{i}+\left(x^{2}-2 x y^{-3}\right) \mathbf{j}, y<0

Passo 1

O enunciado pergunta se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) \quad\text{com}\quad P(x,y)=2xy + y^{-2},\; Q(x,y)=x^{2}-2x\,y^{-3},
definido no domínio y<0, é conservador. Se for, precisamos achar uma função potencial f(x,y) tal que \nabla f=\mathbf{F}.

Passo 2

Num domínio simplesmente conexo (aqui \{(x,y)\mid y<0\}), \mathbf{F} é conservador se e somente se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy + y^{-2}\bigr) =2x -2\,y^{-3},
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-2x\,y^{-3}\bigr) =2x -2\,y^{-3}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, \mathbf{F} é conservador.

Passo 3

Para encontrar f, integramos P=f_x em relação a x:
f(x,y) =\int\bigl(2xy + y^{-2}\bigr)\,dx = x^{2}y + x\,y^{-2} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivando f em relação a y e igualando a Q:
f_y =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y + x\,y^{-2} + h(y)\bigr) = x^{2} -2x\,y^{-3} + h'(y) \stackrel{!}{=} x^{2} -2x\,y^{-3}.
Segue que h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

Portanto uma função potencial é
f(x,y)=x^{2}y + x\,y^{-2} + C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\mathbf{F} é conservador e uma função f tal que \nabla f=\mathbf{F} é
f(x,y)=x^{2}y + x\,y^{-2} + C.

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