Determine se \mathbf{F} é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
10. \mathbf{F}(x, y)=(x y \operatorname{cosh} x y+\operatorname{senh} x y) \mathbf{i}+\left(x^{2} \operatorname{cosh} x y\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \displaystyle \mathbf{F}(x,y)=\bigl(x\,y\operatorname{cosh}(xy)+\operatorname{sinh}(xy)\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(x^{2}\operatorname{cosh}(xy)\bigr)\,\mathbf{j}
e pede para verificar se é conservador e, em caso afirmativo, achar f tal que \mathbf{F}=\nabla f. O conteúdo necessário é o teste de igualdade das derivadas parciais cruzadas e, se for conservador, a construção de uma potencial via integração de uma componente e ajuste de uma função de y.

Passo 2

Escrevendo
P(x,y)=x\,y\operatorname{cosh}(xy)+\operatorname{sinh}(xy), \qquad Q(x,y)=x^{2}\operatorname{cosh}(xy),
calculamos as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy\operatorname{cosh}(xy)\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sinh}(xy) =x\operatorname{cosh}(xy)+x^{2}y\operatorname{sinh}(xy)+x\operatorname{cosh}(xy) =2x\operatorname{cosh}(xy)+x^{2}y\operatorname{sinh}(xy),
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\operatorname{cosh}(xy)\bigr) =2x\operatorname{cosh}(xy)+x^{2}\,y\,\operatorname{sinh}(xy).
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, o campo é conservador em \mathbb{R}^{2} (domínio simplesmente conectado).

Passo 3

Para achar a potencial f(x,y), integramos P em relação a x:
f(x,y) =\int\bigl(x\,y\operatorname{cosh}(xy)+\operatorname{sinh}(xy)\bigr)\,dx.
Fazendo a substituição t=xy, dt=y\,dx, obtém-se
\int x\,y\operatorname{cosh}(xy)\,dx =\frac{1}{y}\int t\operatorname{cosh}(t)\,dt =\frac{1}{y}\bigl(t\operatorname{sinh}(t)-\operatorname{cosh}(t)\bigr) =\frac{x\,y\operatorname{sinh}(xy)-\operatorname{cosh}(xy)}{y},
e
\int\operatorname{sinh}(xy)\,dx =\frac{1}{y}\int\operatorname{sinh}(t)\,dt =\frac{\operatorname{cosh}(t)}{y} =\frac{\operatorname{cosh}(xy)}{y}.
Somando,
f(x,y) =\frac{x\,y\operatorname{sinh}(xy)-\operatorname{cosh}(xy)}{y} +\frac{\operatorname{cosh}(xy)}{y} +g(y) =x\,\operatorname{sinh}(xy)+g(y).

Passo 4

Para determinar g(y), igualamos \partial f/\partial y a Q:
\frac{\partial f}{\partial y} =x\cdot x\operatorname{cosh}(xy)+g'(y) =x^{2}\operatorname{cosh}(xy)+g'(y) \stackrel{!}{=}Q(x,y)=x^{2}\operatorname{cosh}(xy),
logo g'(y)=0 e g é constante. Podemos tomar g(y)=0.

Resposta

Uma potencial é
f(x,y)=x\,\operatorname{sinh}(xy),
pois daí \nabla f=\mathbf{F}.

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