determine \mathbf{r}^{\'}(t).
\mathbf{r}(t)=(4+5 t) \mathbf{i}+\left(t-t^{2}\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \mathbf{r}(t)=(4+5t)\,\mathbf{i} + (t - t^2)\,\mathbf{j}
e pede sua derivada \mathbf{r}'(t). O procedimento é derivar cada componente escalar em relação a t.

Passo 2

Derivamos a componente em \mathbf{i}:
\frac{d}{dt}(4+5t) = 5.

Passo 3

Derivamos a componente em \mathbf{j}:
\frac{d}{dt}\bigl(t - t^2\bigr) = 1 - 2t.

Passo 4

Juntando os resultados, obtemos
\mathbf{r}'(t) = 5\,\mathbf{i} + (1 - 2t)\,\mathbf{j}.

Resposta

\mathbf{r}'(t) = 5\,\mathbf{i} + (1 - 2t)\,\mathbf{j}.

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