determine \mathbf{r}^{\'}(t).
\mathbf{r}(t)=\frac{1}{t} \mathbf{i}+\operatorname{tg} t \mathbf{j}+e^{2 t} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \mathbf{r}'(t) de uma função vetorial
\mathbf{r}(t)=\frac{1}{t}\,\mathbf{i}+\tan t\,\mathbf{j}+e^{2t}\,\mathbf{k}.
O que precisamos fazer é aplicar a derivada componente a componente, usando as regras:
  • \bigl(1/t\bigr)'=-1/t^2,
  • \bigl(\tan t\bigr)'=\operatorname{sec}^2 t,
  • \bigl(e^{2t}\bigr)'=2e^{2t}.

Passo 2

Derivada da componente em \mathbf{i}:
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{1}{t}\Bigr) = -\frac{1}{t^2}.

Passo 3

Derivada da componente em \mathbf{j}:
\frac{d}{dt}\bigl(\tan t\bigr) = \operatorname{sec}^2 t.

Passo 4

Derivada da componente em \mathbf{k}:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}\bigr) = 2e^{2t}.

Passo 5

Reunindo todas as componentes temos:
\mathbf{r}'(t) = -\frac{1}{t^2}\,\mathbf{i} + \operatorname{sec}^2 t\,\mathbf{j} + 2e^{2t}\,\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{r}'(t) = -\frac{1}{t^2}\,\mathbf{i} + \operatorname{sec}^2 t\,\mathbf{j} + 2e^{2t}\,\mathbf{k}.

Exercícios relacionados